4 uflo.sitngsmcthode für cilcjehrcmtlte Bacltstabengleiclnmgen etc. 



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1 



t — l)?;.4-2 • -f/'+i " H~ (^ — -j'^r^-i ? ^ /■+i+~fr+-:i ! -a,,^! -j- c,,^._. : ■Jl,,_^i 



1 



und da sie, ^vle hier ersichtlicli ist. alle grösser siiiJ als c,+j , so werden alle der ("inippe von 

 Üngleicliuiigen : 



108) 





(0 



5?<5WM-^c. 



+ 



z 



'.ukonmienden Grenzwertho 



o-rosser 



ausfallen als ^,,^ inid daLc]" brauehbare AVertbe 



für c, ,._, liefern. 



Die Gleichung (103) und die Ungleichung (104) liefern für v 



t die Relation 



51,^: 



(v) 



\J^>{t—in^ 



r-i-l 



oder die gleichbedeutende: 



9r^+i(to-3rr+ico 



V 



i 





Der im ersten Tlieile dieser Relation stehende Quotient ist geradezu der Werth von c,.+^ 

 für den die beiden linearen Functionen: %..J'^ -^tc,.^. und 2(,+/"^ + e;c, 



,2 gleiche Werthe 



erlan<^en. und da derselbe, wie hier ersichtlich, für alle über t liegenden v kleiner oder 



s 





o-leichc,.+i ausfällt, so entnimmt man unmittelbar, dass alle übrigen Ungleichungen des Systemi 

 (105), welche auf die Gruppe (lOS) folgen sollten, lauter unbrauchbare Grenzwerthe 



r 



liefern werden. 



Es ist also hiemit erwiesen, dass wenn bei der Bestinnmmg des Folgegliedes Ä,a^'' derCoeffi- 



cient \ als eine ^mal wiederholte Wurzel der entsprechenden Bestimmungsgleichung erhalten 



Avorden, die Ermittlung des nächstfolgenden Entwickelungsgliedes A,^,i a^''+' durch ein System 



von t4^ 1 Un'^leichuno-en, oder wenn man Avill, durch eine höhere Buchstabenglei(diung vom 



Cradc t e-eo-cbcn sei. welche Jautcr brauchbare Werthe dafür liefert, und hiemit wäre die friilier 



erwähnte Lücke des Beweises ausgefüllt, wenn man sich daran eriiniert, dass dasselbe Verhalten 



auch schon bei li^a^° gelte. 



Fassen wir nun alles bisher über die Bestimnumg der Folgeglieder Gesagte zusammen, 

 so stellt sich die vollkommenste Übereinstimmung zwischen der ab- und aufsteigenden Ent- 

 Avickoluno-sweise heraus: Um zu einem ermittelten Bestandtheile x, der Wurzel 

 das unmittelbar darauffolgende Glied ä,+j 0^''+' aufzufinden, hat mau vor allem 

 anderen zu untersuchen, ob der letzte Coefficient /?, eine einfache oder eine 

 wiederholte Wurzel seiner Bestimmungsgleichung war. Ist h, eine p-mal 



Avi ederho Ite Würz el 

 anstatt x in die Polynome: 



(wo übrigens aucli p 



1 



1 sein kann), so 



hat 



man x 



CLL- 



IV cT-P 



dx' 



■> 7 ' 



■ • 



dpP 



dxP 



Z U S U 



bstituiren. diese Substitutionsresultate aufsteigend zu ordnen, ilxre 



ersten Glied er: 



