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Ignaz Heger. 



ZU 1) e s tim men u nd nun aus ihnen die G leicliuno*: 



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7 u r B c Stimmung der Anfangs glie d er von x 



zu bilden, welche x' als Unbekannte enthältj und das be kannte V erfah r en' 



für die a uf st eigen d nach 

 Potenzen von a geo r dnc t e Ent wickelungs fo rm an zu wen den. Alle auf solch e 

 Weise ge fun denen An fang sg He der stellen brau chbar e Werthe von Ji^.^^ a^''+^ dar. 

 Findet man mehrere von einander verschiedene solclie niieder, so bildet ein jedes den Aus- 

 gangspunkt einer eigenen ferneren ]i]ntwickelung und man wird endlich in der Eegel dahin 

 gelangen, dass zu jeder entwickelten Clledersumme nur ein einziges Folgeglied geliort, zu 

 dessen Bestimmung eine Gleichung des ersten Grades führt. Isfc man daliin gekommen, so sind 

 die Wurzeln der Gleichung vollkommen isolirt, und die weiter fortgesetzte Ixechnung er- 



3 



flillc nur den Zweck, eine grössere Anzahl von Entwickeluugsgliedern zu liefern. Hiei 

 können wieder zw^eierlei Fälle eintreten. Gew^öhnlich lässt sich nämlich die Entwickelung in; 

 Unendliche f/rtsctzeu, weil das aus dem Gleichungspolynome P hervorgehende Substitutions- 

 resultat von Null verschieden bleibt^ wie viele Glieder man auch bilden mag; bisweilen jedoch 

 schliesst sich die Entwickelung von selbst, indem bei einem gewissen Gliede das Substitutions- 

 resultat vollständig verschwindet. Dieser Fall gehört, wie leicht einzusehen, nicht zur Eegel 

 sondern zu den Ausnahmen. Unter solclien a'üustiuen Umständen fülu't also die Entwickelun 



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zu einer geschlossenen Form von x. Dies Abbrechen der Entwickelung liegt hier sogar mit- 



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unter in der Gewalt des Ilechners; biswellen nämlich lässt sich eine Grösse a =r^ a — 



nach welcher eine Wurzel aufsteigend entwickelt in geschlossener Form erhalten werden kann, 



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d es häna-t nur dann von der zAveckmassis'en Wahl von a ab. Wir w^erden in einer 



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nächstfolgenden Abhandlung diesen Gegenstand ausfüludicher behandeln. 



AVir halten es für überflüssig, die hier auseinandergesetzte JMethode noch durch Beispiele 

 weiter zu beleuchten, da das dabei elnzuschhm-cnde liechnuno-sverfahren keinen neuen AVeu" 



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verfolgt, der nicht schon dem Leser von der absteigenden Entwickelung her bekajmt Aväre und 

 daher alles dort Gesagte auch hier vollkommen passt. 



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Wir haben schon zu w^icderholten Malen Gelegeidieit gefunden, auf die Übereinstimmung 

 hinzuw^eisen, welche zwischen der auf steigen den und der absteigenden Eeihenent- 

 wickelung stattfindet. Hier wollen war nocli eine solche zur Sprache bringen. Im §. 16 



wurde dargethan, dass man bei der absteigenden Reihenentwickelung von x, wenn die- 

 selbe bis zu eiiier gewissen Weite vorgeschritten ist, mit einer einzigen Thciloperation nicht 

 immer nur ein einziges Folgeglied, sondern deren mehrere auf Einmal erhalten könne. 

 Genau dieselbe Eigentliümlichkeit kommt auch der aufsteigenden Entwickelungsweisc zu. L«t 

 man nämlich in der Beclmung so weit vorgeschritten, dass die Substitutionsresultate ^\, und 



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ZV aus den derivirten Polynomen — und 



•^ dx 



Wr-) welclie für x~ 



fortwährenden Zunehmen der Gliederanzahl r foi'tan dieselben xVnfangsglicder ^\,a^^'^' und 



d^P 



-^ abgeleitet w^erden , beim 





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