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S^ " a^'^" aufweisen; so ist man bei dem Punkte angelangt, avo durcli eine schickliche Abänderung 

 des Rechnan<>-sverfahrens mit einem einzip-en Schritte immer mehrere Glieder auf Einmal 

 erhalten werden können. Anstatt nlimlich, wie die frühere Regel zur Bestimmung der Folge- 



e:liedcr vorschreibt, nur das erste Cxlied des Quotienten — -^ zu suchen, Avelches eben der 



Werth des nächsten Folgeglied^es A,,^ia^'-+i ist, führt man die Division weiter aus, und erhält so 

 mehrere Glieder auf Einmal: 



■I 



% 



I 



! 



110) 



Ä,+ia^>+i + A 



V- 



7- + 2 





/^.^3a^^'■+3 



• « 



K-^s ^^'■+-^ 



Die Grenze, bis zu welcher die Division fortgesetzt werden darf, wird durch eine sehr 

 einfache Relation : 



111 



t 



+ 5 



51 



ff 



21' 



P 





festgesetzt. Alle auf solche Weise entwickelten Glieder, deren Exponenten f diese Relation 

 erfüllen, sind verlässlich, d. h. sind von denjenigen nicht verschieden, welche zufolge des 

 gew()hnliclien A-^crfalirens einzeln aus der Quotientenreilie: 



(112 



'P 



r 



^' 



7 







?!.+ 



1 



* f » 



o;' 



•i^+ 



hervorgehen. Die Anzald s dieser A^erlässlichen Glieder ist beim Fortschreiten der Entwicke- 

 lung im raschen AVachsen begriffen. Diese Eigenthümlichkeit tritt aber, Avie gesagt, erst dann 

 auf, wenn die Anfangsgbeder von *$',. und $'V ^m verändert bleiben beim fortw^ihreude^n 

 Wachsen der Gliederanzahl r. Dieses Un verändert bl eiben der 

 Beweis, dass die entwickelte Grliedersumme 



Anfangsglieder ist ein 

 gar keiner Auflösung der derivirten Gleichungen 



fir 



oder 



d~r 



j 



z=z elo'cn sei und da^s somit durch dieselbe das derEntwickclung unterworfene 

 d^ ^'^ 



X vollkommen isolirt sei von allen AVurzeln dieser beiden derivirten Gleichungen. Es ist leicht 



einzusehen, dass man bei den meisten Gleichungen, wenn nicht schoii beim Anfange der Rech- 

 nuno-, so doch im Aveiteren Verlaufe derselben zu diesem Punkte gelangen müsse, imd nur 

 dann, wenn die der Entwickelung unterworfene Wurzel gleichzeitig mit der i*:= noch eine 



dP 



der beiden derivirten Gleichungen -- 



und — - 



dx^ 



erfüllt, dieses Constantwcrden der An- 



fano-so'licder .^/a'^^'"' und ^^," a'^''" niemals eintreten w^erde, weil in einem solchen Falle die ent- 

 wickelten Glieder bei einer der beiden derivirten Gleichungen genau dieselbe Wirkung, wie bei 

 dcrP= ü ausüben. In dem Substitutionsresultate ^; oder ^J' wird nämlich die Reduction auf 

 Null genau so, Avie bei dem Substitutionsresultate ^, durch Hinzufügen neuer Folgeglieder, 

 d. h. beim Zunehmen der Gliederanzahl r von den niedrigsten Potenzen von a aus zu den 

 nächst lioheren übergehend unaufhaltsam fortschreiten, so zwar dass der Exponent 51/ oder der 

 andere 5(/ ebenso Avie der 5(, bei dem Wachsen von r sich fortAvährend ändert und ins 

 Unbegrenzte wächst. Allein in einem solclicn Falle besteht ein gemeinschaftlicher Factor in F 



und einem der beiden derivirten Polynome -— und -~^- . Denselben kann man auf die bekannte 



•^ dx t/.t- 



Weise finden. Setzt man ihn der Nulle gleich, so erhält man eine neue und einfachere Gleichung, 

 Avelcher genau dasselbe x entspricht und bei der dieser Übclstand meist nicht mehr stattfindet. 

 Ein solcher Ausnahmsfall ist demnach immer als ein günstiger zu betrachten. 



Nachdem Avir nun bemerkt haben, dass die hier besprochene Bedingung entweder durch 



erfüllt oder 



hinreichend weit fortgesetzte Entwickelung von x bei der Gleichung P 



dP , 0^-P 



vermittelst der Bestimmung des sonst in P und -— oder in P und - ^, 



F 



Deiikbcliriftcn der mathciu.-uaturw. Cl. XU. IUI. Abliandl. v. NicJjtjnit-I. 



- enthaltenen gemcni- 



bh 



* ' 



^ 



