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Tguaz Heger, 



scliaftlidicn Factors eine neue Gleicliuug abgeleitet werden könne, welche die vorlangte 

 [soliruno- verstattet; so wollen wir nun /.um Beweise des früher Behaupteten schreiten. 



Wir setzen voraus, eine xVuflösung der Glcicliung F^i) sei, in ihren r+1 ersten 

 Gliedern aufsteigend entwickelt, durcli die Gliedersumnie o.;, dargestellt und von allen Auf- 



lösunö:cn der derivirten Gleichunp-en — 



und 



— =0 isolirt, oder mit anderen Worten, die 



Anfangsglieder derjenigenSubstitutionsresultate ^' und ^", deren Index gleich oder grösser als 

 r ist, seien stets diesclLenj und wollen jetzt die Bedingungen entwickeln, unter welchen das 



ö-^ö 



Q 



q3/ 



mit dem ersten Gliedc von 





s 



; uberem- 



ist nämlich hier der gowölmliclien 



stimmt oder davon differirt. Das erste Glied von — 



Regel zufolge das (r -f s + 2)''' Entwickelungsglied der Wurzel x, während das (.v-L- 1)'^'" Glied 



des Quotienten — ^ gleichfalls das {r + s -[- 2)'^' in der Eeihe wird, Avenn man den Ent- 



$ 



%. 



Wenn wir dalier die Bedingungen Jcennen, unter , welchen 



wickelum-'Sf.^-liederu dieses Quotienten die r + 1 Glieder der Gliedersumme x;. vorsetzt. 



eine völlige Gleichheit 



h * 



zwisclien ihnen besteht oder das Gegentheil stattfindet, so haben wir unseren Zweck erreicht. 

 Bezeichnen wir mit x*' die Summe der auf x,, unmittelbar folgenden ,s' Entwickelungs- 



glieder von x\ 





113) 



X 



h,, ,a-'-+J 



■yy 



Ä,.+2 ^^^'■+' + ■ + ^ 



T-^-ä 



a^'-+« 



so hat man: 



(114) 





X 



und folglich 



(115) 



^,.. 



t-s 



%r 



1 



%: X' + - %:' X 



"./3 , * v:j3;"^.'3 



+ 



2.3 



(116) 



't^ ?^ 



s 



^; + w^'' + ^w'x' 



f} 



(117 



* 



ff 



l'-^-s 



^;' 



+ 



f. 



/// 



X 



* ^ ^ 



Die ersten Glieder von ^,,$;,^^3/', ^/'S sijid (ku- gewöluiliclien Bezeichnungsweise 



zufolge : 



% 



" ..%r'' 



5( 



^,.fß' , .f,;««'' , ^;'«''^" , .§;"«" ,... 



wobei, den früher gemachten Voraussetzungen entsprechend,. §\.a^''* und ,&.."<//'^"'' die nn\ 



__..._^ . .....__.. , ,,..__....^....„^.. ^.._..^. --^-.-^ ,.^-''^''" und ,S^ /'^r^"'" die unverändcr- 



liehen Werthe besitzen, die auch für r -f 1, r + 2, gelten. Wir wollen sie daher durch 



schon bei einem früheren Entwickelunir.s.irliede von x. denen die Indices p und y entsprechen, 



^ a^^'^' und «^'^.a*^"'' ersetzen, weil das Constantwcrden dieser Anfixngsglieder möglicherweise 



ö '-■■ ö 



erfolgt sein kann. Das erste Glied von':// aber ist, Avie in (Uo) ersichtlich: 'h^.j^^a^''-^\ Es geht 

 daraus hervor, dass das erste mit der niedrigsten Potenz von a versehene Glied von ^,.j^,^ ^Vf . 

 und ^".,. nur aus fola'enden Gliedern entstehen könne: 



T-\'S 



118) %. 



+ .^ 



Xp.«5f-f/v+,^,«5'v + ?.■+« ^.^^;v.«-/'+'^f-+> + ^^;"«^^'^"' +«?'•+> +. . 



2 . ;i 



119) ^; 



120) r. 



+^ 



^;a^^'. 



i+, ^;a^h/'^^^^+i + 



//S-^i 



9 



|,;"„5l/"+2f,.+i^_ . 



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