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Auflösungsmetlioäe fär algebraiscTio Ikichstalengleichungen etc 



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Da nun vorausgosetztermassen ^' und ^" für alle Indices, die gleicli oder grösser sind als 

 r, dieselben Anfangsglieder S^\,a^^'^ und ^"^a^"'^ besitzen sollen, so gilt dies auch von ^V+s i-ii^d 



^" r^,' Dies ist aber nur dann möglich, wenn %'\^ unter allen in den Gliedern (120) erschei- 

 nenden Ex2:)onenten den kleinsten Werth besitzt und 21'^^ unter allen in den Gliedern (119) 

 A^orkomnicnden Exponenten am kleinsten ausfälltj also wenn die folgenden Relationen bestehen: 



121 



21' 



1K' + t^i<X" + 2f.+, und alle übrigen. 



Beim Ausdrucke ^,, , , aber herrscht ein anderes Verhalten. Zufolge der zAveckmassiu;'en 



Wahl von x\ namentlich in Folge der AVerthe: 



(122) 

 123) 



f 



r-\-l 



5t 





h 



$ 



r 



r+l 



^p 



tilgen sich die beiden ersten Glieder der (118), und das erste von Null verscliiedene Glied 

 Avird nur durch Avirkliclie Substitution und Ausfülu-ung aller Eeductionen bestiiumt werden 

 können. So viel ist aber gewiss, dass dasselbe entweder nur aus den zwei Bestandtheilen: 



124) 



* 



*; x' 



oder üdeichzeitig auch aus den übrigen 



^-1 



(125) 



1 



W^ 



ty 



1-2 



^;" x'^ + . . 



sehie constituirenden Elemente zielit. Den Itelationen (121) und (122) zufolge gilt aber auch 

 die andere; 



(120) 2I. = 5y + .-.+. <%;' + 2c.+, <%:" + 3c.+, und alle übrigen, 



woraus unmittelbar ersichtlich ist, dass das erste mit der niedriL^stcn Potenz von a versehene 

 Glied der Sunnuc (125) 



i-^e 



" ''' %a"^-' = 



JiL, a 



■q -r ^^r^\ 



sei. Es folgt hieraus, dass Avenn im vollkommen geordneten Substitutionsresultate ^^._^^ der 



Exponent "21,.^^ des ersten von Null verschiedenen Gliedes kleiner -ist, als 51"^ + 2 C;.+] , dasselbe 

 nur aus den beiden Bestandtheilen (124) entstanden sein könne, wahrend für deu anderen Fall: 



127) 



31 



r-{-,s 



%:; 



auch die übrigen Bestandtheile (125) zu seiner 

 Ilclation: 



(128) 21 





Bildung 



beitraii'cn 



werden. Besteht also die 



T-^S 



2i;'-i-2e.,. 



so ist das Anfangsglied von %,.^, identisch mit jenem von %^ + ^V ^\ ^^^"^^ '^^^^ ^^^ entgegen- 

 gesetzte (126) Statt, so differiren die Anfangsglieder von ^^_^, und ^,. -\ '$',:r'. 



Bei der aufsteigenden Entwickelung beghmt im Substitutionsresultate die lieduction auf 

 Null bei der niedrigsten Potenz von a und gelit beim Hinzufugen neuer Folgeglieder auf die 

 nächst höheren Potenzen über. Sonach werden die Substitutionsresultate ^, wie sie nach einem 

 jeden einzelnen P'olgegliede hervorgehen, mit stets höheren Potenzen von a beginnen, und 

 daher die Exponenten % in folgender Relation zu einander stehen: 



^ J 



