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Jgnaz Heger. 



daraus abzuleiten. Man erhält ^ von folgender bequemeren Bezeichnungswelse Gebrauch 



machend 



(2) 

 (3) 



d'P 



dx 



P', 



dP 



da 



P 



/ J 



d^F 



dx 

 da 



X 



? 



P 



I! 



1 



(ß X 



da 



% 



d'^P 



dxda 



X 



II 



; 





t?2p 



da 



4 * 



d'^x 



da^ 



P 



II 5 * ' 



X 



w 



d^'^'p 



dx'>' d^a^ 



1 





die ßeilie identisclier Gleiclaunffen : 







P 



(4) 



P'x" +P"x 





 

 



/f ^J2 



2P'x'4-P 



P' x"'+3 {P"x 4- P;) x" + P"'x" + ?>P;'x" -r 3P,>' + P,„ 



P' x'^ + 4(P"£c' + P;) x"'-|- 3P"ci:"^ + 6 (P"'x'^ + 2 P;'»;' + P,/)://' -V 



+ p^^x'* + 4P;"x'^ + %p;;x'' + 4P,>' + p^v 



wobei aber stets unter x, x', x",.,, die Genüge leistende Function (p{a) und ihre successiven 



Differentialquotienten zu verstehen sind. 



Will man die Entwickelung von x vornehmen, aufsteigend geordnet nach Potenzen der 

 Grösse a — a^ unter a einen ganz beliebigen Zahlwcrth verstanden, so können diese Gleichun- 

 :>'en zur Bestimmung der Cocfficientcn dienen, die darin erscheinen. Bczeicluiet man nämhch 

 mit X, x', x",... P, F, P^, F', P;, P,,... dasjenige, was durch die Substitution a = a aus 

 X, x\ x%,..P\ P', P„ P"',Pn P. hervorgeht, avo also x, x', x%..., P, F, P ,... bestimmte 

 Zahlen bedeuten, weil a eine solche ist; so hat man einerseits zufolge der Mac-Laurin'schen 



Formel: 



(5) 

 andererseits aber: 



X 



X + x'(a — o) - 



r 



x^(a 



a 



2 



= P 







Fx' 4P 



(6) 



=: P'x" + P"X'^ + 2P;x' + P 



= 

 = 



H 



P'x'" -^3(F'x' + P;)x" +P'"x'^ 

 F x^^ + 4(P" x' 4 P;) x'" + 3 P" x"^ 



II ^J% 



3P.'x'4-P 



'^ -2P"x'4-P' 



6(F" 



X 



/ 



// 



X 



// 



4- P^ x'* + 4P;" x'« + 6P,;' x'- + 4F „,x' + Piy 



denn die Glei(3liungcn (4) sind für jedes a, also auch für a = a crMlt. Diese letzteren 

 Gleichungen (4) sind identisch erfüllt, wenn man sich anstatt x die Genüge leistende Func- 

 tion (fi^a) gesetzt denkt. Sie können aber auch als Bcstimmungsglcichungen für die in den- 

 selben und in der (5) erscheinenden Grössen x, x', x", x'",... benützt werden, wenn man 

 X unberührt lässt und die an ihr vorzunehmende Substitution a = a. nur anzeigt, durch Ver- 

 wandeln von X, X', x",... in x, x', x",.-- Fio erste derselben, die P = nämlich, enthält 

 dann eine einzige Unbekannte x und liefert für dieselbe entsprechende Zahlwerthe, und zwar 

 deren mehrere, weil sie von höherem Grade ist. Jeden dieser Werthe kann man als erstes 

 Glied von x erwählen und dazu die Folgcglieder suchen. Diese Folgcglieder ergeben sich aus 

 den übrigen Gleichungen, indem diese die Grössen x', x", .•• bestimmen. Da der Zahlwerth 





i 



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