Aiiflosimgsmrdliode für algehraiHclie Txitclistahemjlelchiingen etc. 



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von X durch die erste Gleicliung bestimmt ist, so kann man sicli durch SuLstitutlon dieses 

 Wcrtlies anstatt x die Grössen P', P^, P'\ P/, P,,.-- ^^ Zahlen verwandele denken. Die 

 grsveite Gleich mig dient nun zur Bestimmung von x' und liefert einen einzigen Werth für diese 

 Grösse. Diesen Werth kann man nun in die dritte G-leichung setzen und verwandelt sie 

 dadurch in eine Gleichung des ersten Grades nach x" mit vollkommen bestimmten Cocfficicnten. 

 Sie liefert daher einen und zwar einen einzigen Werth für x". Auf gleiche Weise erhält man 

 aus der vierten Gleichung den Werth von x", aus der fünften jenen von x^"^ u.s.w. Substituirt 

 man diese gefundenen und zusammengehörigen AVerthe von x, x', x''j... 



in die Formel f o 



so 



ergibt sich x in der verlangten Gestalt. Weil nur die erste der Gleichungen (G) von höherem 

 Grade ist und für x mehrere von einander verschiedene Werthe liefert^ während die folgenden 

 Gleichungen, alle dem ersten Grade angehörig, zu einem bestimmten x nur eine einzige Reihe 



, x" liefern, so ist es ersichtlich, dass diese Entwickehmofs- 



\v X , X 



zugehöriger Werthe fü 



weise zu allen Wurzeln der Gleichung führen könne, wenn man der Reihe nach alle verschie- 

 denen Werthe von X erschöpft und zu jedem derselben die zugehörigen x, x", x'", . . . sucht. 



Dieser Entwickelungsgang findet meistentheils in solcher Weise Statt. Es gibt jedoch 

 Fälle, d. h. specielle Werthe von a, für welche diese EntAvickelung zu eigenthündiehen 



Erscheinungen führt: 



Erstens kann es sich treffen, dass die Gleichung P=0 nicht die genügende Anzahl 

 von Worthen für x liefert, sondern deren weniger. Die unmittelbare Folge hievon ist,, dass 

 nicht alle, sondern nur einige der Genüge leistenden Functionen (p {a) erhalten wenden. 



Zweitens. Es kann sich ereignen, dass iro-cnd eine der darauffolgenden Gleichungen 



ö 



? 



ö 



i gleichfalls die Anzahl 



in (6), w^elche zur Bestimmung der Grössen x , x", . . . dienen sollen, diesen Zweck niclit 



erfüllt,' sondern im Gegentheile einen AViderspruch aufweist, Avodurcl 



der brauchbaren Werthe x und mit diesen die Anzahl der Wurzeln verringert wird. 



Diesem Verluste einer oder mehrerer Wurzeln lässt sieh zwar stets durch eine geeignete 



weil die erAvälmten Erscheinunp^en imr für ganz bestimmte und 



Wahl von a vorbeugen, 



specielle Zahlwerthe eintreten können; allein für unseren Zweck haben vorzugsweise eben 

 nur diese speciellen Werthe a praktische Bedeutung, weil sie über wichtige Eigenschaften 

 der Genüge leistenden Functionen Aufschkiss geben, während die aufsteigende Reihenent- 

 wickelung für alle anderen Werthe von a von uns niemals ehigeloitet w^ird, da sie keine 

 Durchsichtigkeit gewährt. Es ist demnach jene bekannte aufsteigende Reihenentwickelung, wie 



sie vermi 



ittelst der Mac-Laurin'schen Formel bewerkstelligt werden kann, vollkommen unbrauch- 



bar für unsere Zwecke, und ,^ie gewinnt erst dann eine praktische Bedeutung, Avenn die- Mac- 



Dies ist auch der Grund, warum Avir die 



Laurin'sehe Formel ihre Wirksamkeit verliert. 



aufsteigende Reihenentwiekelung von einem viel allgemeineren Gesichtspunkte aus abgeleitet, 



die Exponenten von a — a in den einzehien EntAAdckeluno-Rodiedern nicht auf die ganzen 



Ö 'O 



positiven Werthe: 0, 1, 2, 3, 4, beschränkt, Avie dies bei der Mac-Laurin sehen Formel 



in der Tliat geschieht, sondern, ohne über ihre möglichen Werthe irgend eine Annahme zu 

 machen, dieselben vielmehr erst gesucht haben. 



Die vermittelst der Mac-Laurin schon Formel eingeleitete Entwickelung liaben wn^ hier 

 nur desshalb in ihren Grumlziigen angedeutet, Aveil Avir dadurch Gelegenheit finden Averden, 

 jene für uns Avichtigen speciellen Werthe a zu ermitteln. Wir av ollen daher den EntA\dcke- 

 hnuvsxrana- nochmals aufmerksam durcligehcn und die Bedingungen erörtern, unter welchen 

 auf die eine oder andere Weise eine oder mehrere Wurzeln verloren gehen. 



Bcnkscliriften der mathcm.-jiuturw. Gl. Xlll. IJd. Abhanül. v. Nichtmitgl. 





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