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Ignaz liegen 



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Eiclitcn wir zuvörderst unsere Aufmerksamkeit auf die erste der Gleichungen (G), auf 

 die P:=:0 nämlieh. Für die bisher untersuchte Gattung algebraischer Gleiclumgen, die in der 



F 



orm : 



8[IIa''x'\ 







oder in der: 



(7) 



.4^33» + A»-i .-»""' + -^A,X + A, = {) 



erscheinen, besitzt diese Gleiehung die specielle Gestalt: 



S [IIa' x»-] 



A_ 



iv^ X 



m 



+ A_, x"-^ + ....+ A, X + A 







0. 



Wir wollen nun die Frage auf werfen: In welchen Fällen, d. h. für welclie speciellen 

 Werthe a liefert diese Gleichung weniger als 7n von einander verschiedene und endliche 

 Werthe für x. Diese Frage beantwortet sich, mit Leichtigkeit. Die Anzahl m der Auflösungen x 

 kann auf eine zw^eifache Weise vermindert werden: 



Erstens dadurch, dass A^ und vielleicht auch A 

 enten der höchsten Potenzen von x zufällig den Werth Null bekommen, und 



zwei oder melirere gleiche 



m — 1 ? 



A^_.j, .... nämlich die Coeffici- 



Zweitens dadurch, dass unter den Wurzel Avex-then x 



vorkommen. 



Die Werthe a, welche eine Verminderung der Anzahl m der von einander verschiedenen 

 X herbeiführen, lassen sich demnach in zwei Classen theilen. Die erstcrcn veranlassen das 

 NuUwerden A'On A^ nnd viellciclit auch von einigen der unmittelbar nachfolgenden Coefficien- 



ten A,,„_i, A„^_2, .... und vermindei'n auf diese Weise die Gradzahl der Gleichung und mit 



ihr die Anzahl der Wurzeln x. Die andern aber belassen zAvar die Gradzahl m dei' Gleicliuni»- 

 unberührt, vermindern aber die Anzahl der von einander verschiedenen Werthe von x durch 

 das Herbeiführen wiederholter Wurzeln. Ausser den erwähnten zwei Gattungen speciellei' 

 Werthe a bestehen keine mehr, die eine Verminderung der Anzalil der Werthe x herbei- 

 führen könnten. Wir werden nun jede dieser beiden Gattungen einer genaueren Prüfung 

 unterziehen in Bezug auf ihren Einfluss auf die aufsteigende Reihenentwickelung vermittelst 

 der Mac-Laurin'schcn Formel. 



Die zur ersten Gattumr P-ehörliren Werthe a findet man durqh Nullsetzen von A.,, und 



ö ö 



Auflösung der so erhaltenen Zahlengleichung: 



A 



m 



0. 



Ist der Coeffieient A.^ der höchsten Potenz von x ein a enthaltender Ausdruck, so kann 

 man dieser Gleichung Genüge leisten und die derselben entsprechenden Wurzeln sind die 

 gesuchten Werthe a der ersten Gattung. Nur wenn A^, eine bestimmte Zahl ist und gar kein 

 a enthält, so ist es nicht möglich ihr Genüge zu leisten, und dann bestehen auch gar keine 

 Werthe a der ersten Gattung. 



Die auf solche Weise gew^onnenen speciellen Werthe von a denke man sich nun in die 



Cocfficienten yl,^, J.,„_i, 



Zahlen: 0, A;,^_i , .... A^, Ay. In der Regel wird A,^_^ von Null verschieden sein; es kann 



sich jedoch auch ereignen, dass mit A,„, auch A^,^_^ und wohl noch einige der nächstfolgenden 



. . . . A^j ^0 substituirt. Sie verwandeln sich dadin-ch in bestimmte 



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