Auflösiingsmetliodefür algehraisclie Bucltstahengleicliungen etc. 



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m- 



X 



m — 



m~1 



X 



m- 



Coefficienten für a^^a verseil winden. Durcli diese Substitution gewinnt man die Glcieliuno' 

 P=0 in der Gestalt: 



(9) 

 oder in der: 



■ (10) 



A 



' + A 



A,x + A 











i\.^ X -[- ii.,. |X -\- .... -}-■ iV-j 



X 



A 







0. 



Diese Gleichungen liefern die Werthe von x. Da sie aber niclit vom Grade ??^, sondei-n von 



— 1 , oder T 



niedrigerem : m 



1, oder r sind, so erhalt man aus ilmen anstatt m, nur m 



Werthe für x. Es sind also dadurch, dass eben jener spccielle Werth a erwäldt wurde, ein 



* 



oder mehrere Werthe x verloren o*e^ano-en. Wendet man sich nun zu ^i^w fölircndcn Gleiehnn- 



b'^b 



Q^Q>\x der (6), die zur Bestimmung von x', x", .... dienen, so sielit man, dass sie zu einem 

 jeden Werthe x nur eine einzige Ecilie zugehöriger x', x", . . . . liefern, und es unterliegt 

 imn Avolil keinem Zweifel mehr, dass die vermittelst der Mae-Laurin sehen Formel einge- 

 leitete aufsteigende Entwickelung von x in diesem Falle nicht alle m WurzeLi, sondern nur 

 einige von ihnen zu liefern geeignet sei. Leitet man hingegen diese Entwickelung nach der 

 allgemeineren Methode ein, die in einer früheren Abliandlung exponirt wurde, so findet 

 man alle m Wurzeln. Unter diesen finden sich Jone, welche die Mae-Laurin'sche Formel 



r- 



lieferte, in genau derselben Gestalt wieder, aber auch die übrigen die sie verAveigerte. Es 

 zeigt sich, dass diese Wurzeln nicht mit einem von a — a freien Anfaiigsgliedc x, sondern 

 mit einem Gliede beginnen, welches einen negativen Exponenten trägt, also mit einem Glicde 



von der Form l}^{a — -«)"''' im d nun ist der eigentliche Grund, warum die Mac -Laurin sehe 

 Formel dieselben nicht liefern konnte, unmittelbar ersichtlich. Die verlorenen Wurzeln x 

 besitzen nämlich (a — aY ini Nenner und lassen sich demnach nicht mittelst der Mac- 

 Laurin'schen Formel aufsteigend in der Form (5) entwickeln, wenn man nicht zu micndlichcn 

 Werthen der Grossen x, x', x", . . . . seine Zuflucht nehmen wollte. 

 Wir schliessen hieraus, dass die Auflösung der Gleichung 



A 



m 







die Nenner der Genüge leistenden Functionen (p 



a 



zu liefern geeignet sei, und zAvar durcli 



ein sehr einfaches Verfahren. Hat man nämlicli alle Wurzeln a dieser Gleichung ermittelt, so 

 braucht man nur für jeden solchen Werth a die aufsteigend nach Potenzen von a = a — a 

 geordnete KeihenentAvickelung und nam6ntlich nur die Bestimmung der mit negativen Expo- 

 nenten Co versehenen Anfangsglieder einzuleiten, um alsogleich Aufschluss zu erhalten über 

 die Art und Weise des Vorkommens eines solchen Nenners. Es wdrd sich dabei zeigen, ob die 

 Grösse a^a oder eine Potenz derselben als Nenner von <p (et) erseheint, ferner, ob dieser 

 Nenner nur in einer oder in mehreren Wurzeln vorkommt. 



§• 3. 



hör 



Schreiten wir nun zur Untersuchung der Werthe r/, welche der zweiten Gattung ange- 



lierbeiführen. Die Bedingung gleicher 



d. h. Avelche gleiche Wurzeln x in der 



Wurzeln ist analytisch ausgedrückt, wenn man zur (7) noch die durch einmaliges Differentiiren 



nach X abgeleitete Gleichung: 



(11) 



P =:mA 



7n 



X 



m- 



^ + (^— l)^.-a 



X 



m—2 



A, 







f' 



^^4 



■ ■ r a—xn ■_\^v ■■ 



