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Ignaz Heger. 



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liinzufügt. Durcli diese Bedingung" ist gleiclifalls mcistcnthcils der Werth von a bestimmt, 

 denn es liegen nun zur Bestimmung der zwei Grossen x und a zwei Gleielmngen vor. Die 

 aus diesem Systeme von zwei Gleichungen gezogenen "Werthe von a sind eben die Wertlic a 

 der zweiten Gattung. Ausnahmsweise kann es sich wohl treffen , dass diese zwei Gleichungen 

 den Werth von a nicht als' eine bestimmte Zahl feststellen, weil es geschehen kann, dass ein 

 a und X enthaltender Factor in beiden gemeinschaftlich erscheint. Es würde dann genügen, 

 diesen gemeinschaftlichen Factor der Nulle gleichzusetzen, um beide Gleichungen zu erfüllen, 

 und es gäbe dann unendlich viele Werthe a^ welche gleiche Wurzeln hei'beifüln-en. Zufolge 

 der Ableitiingsweise der zweiten Gleichung jedoch kann ein solcher gemeinschaftlicher Factor 

 nur dann erscheinen, wenn derselbe in der (7) zweimal existirt, also nur dann, wenn die 

 gegebene Grleichung F^=r.O gleiche Wurzeln x besitzt, und es darf daher nicht Wunder neh- 

 men, dass gelegentlich für ganz beliebige Werthe « gleiche Wm^zchi x bestehen. Nach- 

 dem nun gezeigt wurde, wie die Werthe ry. der zweiten Gattung durch Auflösung eines 



Systems von zwei Zahlcnglcichungcn gewonnen Averden, wollen wir jetzt den Gang der 

 Eechnung verfolgen, wie er sich bei der aufsteigenden Entwickelung nach einer solchen 

 Grösse a = a— 



a vermittelst der Mac-Laurin'schen Formel ergibt. 



Die Ermittelung von x aus der 



P 



bietet nichts Anstössiges, denn wenn gieicl 



nicht 771 von einander verschiedene Werthe dafür gefunden werden, so sind den- 

 noch gewissermassen alle m Auflösungen x repräsentii't und es ist bis jetzt wenigstens nocl 



h 



immer möglich, dass wirklicl 



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aufstcii}*end ß-corduete Eeilicn für x erhalten werden. 



lieilie nacl 



)), die sonst der 



Wenden wir uns nu.n zu den nachfolgenden Gleichungen der 



die zu X gehörigen Werthe von x, x", . . . geliefert haben. Zufolge der Kelation; P 



wandeln sie sich in folgende neue Gleichungen: 



1 



/ 



ver- 



^ 1 



? ' 



12 



::^ P" x'^ + 2 P; X' + P„ 



= 3 [!"' x' + p;] x" -f P'" x'=' + 3 p; x'^ + 3 p,; x' + p„ 



= 4 [P" x' + P;] x'" + 3 P" x'" + 6 [P'" x'^ + 2 P; x' + P,;] x" ~\- 



P'Vx"+4P;"x'^ + 6P 



// 



"x- + 4Pjx'+P, 



V 



Wir bemerken, dass alle diese Gleichungen ihre Eollcn wechseln, indem jede derselben 

 nun nicht mehr dieselbe Grösse bestinnnt, wie früher, sondern dieses Amt an die nächstfolgende 

 überträgt. So z. B. bestimmt die zweite der (6) nun nicht mehr den Werth von x', wie dies 

 früher der Fall war, sondern die darauffolgende dritte. Diese wieder hat aufgehört, x ' zu liefern, 

 und dasselbe ist nunmehr aus der nächstfolgenden zu ziehen u. s. av. Man bemerkt ferner, 

 dass die zweite der (12) nunmehr nach x' vom zweiten Grade ist, Avährend die dritte nach 

 x" schon wieder dem ersten Grade angehört. Gleiches gilt von den darauffolgenden, die x"', 

 x^^, ... zu bestimmen haben. Auch diese neue Erscheinung hat nichts Befremdendes, denn da 

 zwei gleiche Werthe x bestehen, so steht zu erwarten, dass liiezu zwei Werthe x gehören, die 

 wohl meistcntheils verschieden sein werden. Zu einem jeden solchen Werthe x wird daher 

 nur eine einzige Keihe x", x''' ... gehören. Dies würde also ganz gut zusammenpassen, wenn 

 nur die erste der Gleichungen (12) nicht noch übrig wäre, und die keine wählbare Grösse 



v._ 



