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Auflösung smetliode fllr algebralsclie BuclistabengleicJiungen etc. 



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mehr cntliält, wenn man sich x und a schon ihrem Zahhverthe nach dm-ch die (7) und (11) 

 bestimmt denkt. Diese Gleichung kami dalier nur entweder zufälligerweise erfüllt sein 

 oder nicht. Ist sie nicht erfüllt, so besteht ein Widerspruch, der durch keine im endlichen 

 Bereiche getroffene Wahl von x, x", x"', ... mehr behoben werden kann, und der besagt, dass 

 keine Eeihe von der angenommenen Form (5) bestehe , welche eben dieses erwählte An- 



daher auf dieselbe Verzicht leisten müssen und dadurch 

 so viele Wurzeln x einbüssen, als gleiche Wurzeln x vorhanden waren. Ist hingegen die 



fangsglied x besitzt. Man wird 



Gleichimg: 



P 







I 



zufälligerweise erfüllt, so unterliegt die wirkliche Entwiekclung in der Ecgel keiner 

 Schwierigkeit. 



Man ersieht hieraus, dass die durch Auflösung der zwei Gleichungen (7) und (11) 

 gewonnenen Werthe a nicht nothwendigerweise eine Störung in der vermittelst der Mac- 

 Laurin'schen Formel eingeleiteten Eeihenentwickelung herbeiführen werden, sondern dass 

 zur Entscheidung der Frage, ob eine solche Störung eintreten wird oder nicht, der Zahlwerth 

 P^ berücksichtigt werden müsse. Ist P^ von Null verschieden, so ist der Widerspruch und mit 

 ihm die Störung- der Reihenentwickelunö' offen daro-ethan. Ist aber P 



0, so bleibt die Frage 



vor der Hand noch unbeantwortet. Fragt man nach dem eigentlichen Grunde dieser Störung, 

 welche durch das Nichtnullsein von P^ herbeigeführt wird, so mass man sich zu der von einem 

 allgemeineren Gesichtspunkte ausgehenden und stets zum Ziele führenden Reihenentwückelung 

 wenden, wie sie früher ß;*ezciü-t wurde. Dieselbe liefei^t nun auch die hier verloren p'ciran- 

 genen Wurzeln x und es zeigt sich, dass sie wurklich mit jenem Anfangsgliede x beginnen, 

 welches als wiedeidiolte AVurzel der (7) auftrat; das unmittelbar darauffolgende Glied ent- 

 hält jedoch a — a erhoben zu einem gebrochenen Exponenten y? t? y? • • • Es ist auch nunmehr 

 klar, dass die Mac-Laurin'sche Formel diese Werthe x zu vex'schweigen genöthigt war, weil 

 sie in dieser Form mit endlichen Werthen von x , x" ... nicht darstellbar sind. 



Wenden Avir uns nun zu dem anderen Falle, wo P, = ist, w^o es also noch unentschieden 

 bleibt, ob alle 7?^- Wurzeln erhalten av erden oder nicht, und richten wir zuA^örderst die Aufmerk- 

 samkeit auf die zAveite der Gleichungen (12), auf die: 



(13) 



p. 



X 



>9. 



2P' 



X 



L P 



// 



o. 



Diese Gleichung Avird in derEegel zAvci endliche und von einander verschiedene Werthe 



X 



liefern und zu jedem dieser Werthe Avird dann eine zugehörige Peihe von x", x''\ x^^, aus 



den nachfolgenden Gleichungen des ersten Grades gcAvonnen Averden, so zAvar, dass dann das 

 Aufti'ctcn von zAvei gleichen Wurzeln x keinen Verlust an Genüge leistenden Reihen ver-- 



anlassen AAÜrd. 



Sobald aber diese Gleichunq- des zweiten Grades weniger als zwei endliche 



ö 



und von einander verschiedene Wurzeln für x' liefert, ist ein solcher Verlust eine noth wendige 



oder doch Avenigstens mögliche Folge. 



Die Gleichung (13) kann in diesen Ausnahmsfall auf zAveierlei Art gerathen: 

 Erstens: Avenn sie vom niedrigeren Grade als A^om zAveiten Ist. 

 Zweitens: AA^enn sie gleiche Wurzeln besitzt. 

 Das Erstere findet Statt: 

 a) Avenn P" = 0, P/ aber von Null verschieden ist. 



