Vj/ J ^ ^- ■'■ " ■"- 1 ' ^" ^'t^ ^"^ ^"^^^ JJ*M 



v.x,9Hi0jZ^-a 



ttfiäi^Ai 



■■'■>. -^ *■ ■ 



HÜxiA^rT-xl-^^-' 



150 



Ignaz Heger, 



5 ^ 

 J 1 



J 





\ff 



und P: 



0, P; = und P 



0, P aber von Null verschieden Ist; 



// 



ist. 



d) 



Das Zweite, wenn: 



ist. 

 Wir wollen diese vier Fälle nun der Keilie naeli berücksichtigen. 



a) Es sei P" =: 0, P/ aber von Null verscliiedcn. 



Die Gleichung (7) hat in einem solchen Falle mindestens drei gleiche Wurzeln x. Die 

 aufsteigende EntAvickelung vermittelst der Mac-Laurin'schen Formel würde daher nur dann 

 keiner Störung unterliegen, wenn sie dazu wirklich drei verscliicdene Reihen lieferte. Die 



Gleichungen 



sind in diesem Falle folgende: 



= 2P'x 



P 



// 



(14) 



= 3 p; x" 



= 4P'x"' 



'3 



P"'x 



6 (P'" x'^ 



3 P " x'' 



3P x' + P 



/// 



2 p; x' + p,;) + p^^ x'-^ + 4P;" x'^ + 6 P',,x'^ + 4 P',, x' + p 



lY 



und man ersieht aus ihnen unmittelbar, dass nur eine einzige Eeihe vonWcrthen x, x", x"', . .. 

 gewonnen werden könne. Die Mac-Laurin'sche Formel liefert demnach statt dreier Wurzeln x* 

 nur eine einzige. Es unterliegt in diesem Falle die Entwickelung stets einer Störung, und alle 

 übrigen Wurzeln, welche durch das Anfangsglied x bezeichnet sind, enthalten eine Irrational- 



o-rösse VäT welche denselben die Entwickelbarkeit vermittelst der Mac- Laurin sehen Formel 

 benimmt. 



b) Ist P" 



0, p; = 



w 



der Gleiclmngen (6) unmittelbar am Tage. Es ist dann keine der durch x bezeichneten 



We 



?; IstP" 



o,p; 



0, P^^r=0, so verwandeln sich die Gleichungen (6) in:. 



(15) 



o=P"'x'^+3P;'x 



'2 



3P>' + P, 



// 







6 [P" x"^ 



2p;'x' + p;] x" + F^x'* + 4 p;"x'^ + 6 p,;' x'^ + 4P,,;x' + p„ 



Die erste derselben ist meistcntheils vom dritten Grade, liefert daher drei Werthe für x'; 

 die folgenden sind alle dem ersten Grade angehörig; man gewinnt daher zu jedem Werthe x' 

 eine Reihe von Werthen x", x'", ... So oft daher die erste dieser Gleiclmngen wirklieh drei 

 Ycrschiedcne und endliche ^¥erthe für x' liefert, unterliegt die 'ßeihenentwickelung keinerlei 



Gehen aber von diesen drei Werthen ein ^ 

 der Gradzahl der Gleichung oder durch xiuftrctcn gleicher AYurzeln, so kann eine Störung der 

 Reihenentwickelung eintreten. Die Untersuchung der hiebei möglichen Fälle zersplittert sich 

 in mehrere Theile. Sie lässt sich jedoch ohne Schwierigkeit durchführen, wenn man die eben 



r 



geführten Untersuchungen als Muster benützt. 



d) Besitzt die Gleichung (13) gleiche Wurzeln x', ist also P"x'+P;:=0, so gestalten 



sich die Gleichungen (6) folgendermassen : 



Ö = P'" x'^ + 3 P; x'^ + 3 P,; x' + P,, 



(16) 







3 P" x'"^ + 6 (P'" x'^ + 2 P;' x' + P,;) x" + 



+ F^x'* + 4P;"x''' + 6P",x'^ + 4F,„x' + Piv 





'jri ■^n-\ -^1 \-.\ --^^^\ V. - ■- I — . >rv f> i< ->_"vnJ-_ _ 



