Aiiflosiingsmetliodefur algchi'aisclie Tjuclistahengle lehmigen etc. 



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Von diesen Gleichungen ist die erste keine Bestimmnngsgleicliung mehr, denn sie enthält 

 nur Grössen, die bereits ihrem Werthe nach bestimmt sind. Sic spi*icht eine Bedingung aus 

 der nicht mehr durch schickliche Wahl gCAvisser Grössen entsprochen werden kann, und sie 

 kann daher nur zufälligerweise, wird aber in der Eegel jedoch nicht erfüllt sein. Das zufällige 

 Erfüllt- oder Nichterfülltsein derselben wird darüber entscheideuj ob die aus den Gleichungen 

 (7) und (13) gewonnenen Werthe x und x' brauchbar sind oder nicht. Ist sie nicht erfüllt, 

 so ist der Widerspruch offen am Tage und die Mac- Laurin'sche Formel versagt ihre Wirk- 

 samkeit bei der Entwickelung dieser zwei Wurzeln. Sucht man sich durch die andere allge- 

 meine aufsteigende Entwickelung für diesen specicllcn Werth a die Wurzeln x zu verschaffen, 

 so gOAvinnt man durch dieselbe wieder alle Wurzeln, und ZAvel derselben besitzen die zwei 

 Anfangsglieder x + x' (a — a) gemeinschaftlich, welche die Gleichungen (7) und (13) geliefert 

 haben, aber die darauffolgenden Glieder der Entwickelung passen nicht mehr in die Form (5), 

 denn sie weisen ein Glied von der Form /^a' auf. Es ist nun auch klar, warum die Mae- 

 Laurin'sche Formel diese zAvei Wurzeln zu liefern ausser Stande ist mul Avarmir gerade vom 

 dritten Entwickelungsglicde angefangen ein Widerspruch in den Gleichungen (6) auftritt. 

 Man gewinnt zugleich die Überzeugung, dass der specielle Werth a, der aus den zwei Glei- 

 chungen fliesst, unter diesen Bedingungen auf eine in zwei Wurzehi erscheinende Irrational- 



grösse Va 



Va 



a den volUcommen strengen Schluss verstattet. 



Ist aber die erste der Gleichungen (IG 



z 



'zufälligerweise erfüllt, so werden die übrigen 



Gleichungen in der Eegel Werthe für x", x", . . . liefern , und zAvar deren zAvei. Die zweite 

 Gleichung in (16) ist nämlich nach x" dem zweiten Grade angehörig und liefert zwei in der 

 Regel verschiedene Werthe für diese Grösse. 



Die nächstfolgenden Gleichungen dienen dann 



wirklich zur Bestimmung der Grössen x'", x^^, . . . und sind alle dem ersten Grade angehörig. 

 Nur Avenn die ZAveite der Gleichungen (IG) für x" Aveniger als zwei endliche und A^erschiedene 

 Werthe liefert, findet Avieder eine Veränderung Statt, die auf die Zu- oder Unzulässigkeit der 

 Reihenent Wickelung Einfluss hat. 



Wir erachten es nicht für nötliig, den Gang dieser Untersuchungen weiter fortzusp innen ; 

 das hier Gesagte orAveist zur Genüge den Charakter derselben und den eigenthümlichen 

 Zusammenhang zAvischen den Gleichungen (IG). 



« 



. 4. 



Fassen Avir das Ergebniss dieserUntersuchungen kurz zusammen, so gewinnen wir folgende 



Avichtige Lehrsätze: 



1. Die Wurzeln einer algebraischen Gleichung besitzen, Avie jede andere Function, die 



Eigenschaft, sich A' ermittelst der Mac-Laurin'schen Formel nach einer Grösse a 

 eine aufsteiß-ende Eeihe: 



a 



a 111 



X 



X 



'/ 



X [a 



a 



(a 



a 



o 



entwickeln zu lassen, und verlieren diese Eigenschaft nur für ganz specielle Werthe a, indem 

 Aveniger als m Wurzeln der Gleichung erhalten werden. 



2. Diese speciellen Werthe von a sind von zAveierlei Gattung und Averden auch durcli 

 zwei a-etrennte E^ntersuchuni'-en ireAvonnen. Die der ersten Gattung' beigezälilten Werthe a 



¥ 



jv- ---ir. 



