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Ignaz Heger. 



liefern weniger als mWerthe x^ indem die dazu dienende Bestimmnngsgleichung von niedri- 

 gerem Grade ist. Man gewinnt sie durch Nullsetzon des Coöfficientcn der liöclisten Potenz von 

 X und durch Auflösung der so erhaltenen Grleichung: 



A^--=Q. 



Auf diese Weise können Werthe x und mit ihnen auch die AVurzeln x sowold. einzeln als auch 



r 



gruppenweise verloren gehen. Der Grund dieses Verlustes ist die Anwesenheit eines Divisors a 

 oder a^ in den verloren gegangenen Wurzeln, so zwar, dass die Bestimmung der Werthe o, der 

 ersten Gattung den Sclilüssel bietet zur Auffindung aller in den Wurzeln erscheinenden Nenner. 

 Die speciellen Werthe a der zweiten Gattung bedingen den Verlust an Wurzeln x 

 nicht bei der Bestimmung des Anfangsgliedes x, sondern erst bei einem gCAvissen Folgegliode. 

 Sie bieten zur Bestimmung des Werthes von x eine Gleichung des m*°'' Grades^ aber versehen 

 mit gleichen Wurzeln. Dieselben veranlassen niemals den Verlust einer einzigen Wurzel, 

 sondern immer einer Gruppe von zweien oder mehreren solchen. Die zu einer solchen Gruppe 

 gehörigen Wurzeln stimmen in einer Anzahl von Anfangsgliedern vollkommen überein bis zu 

 jenem Glicde, bei dessen Bestimmung der Widerspruch auftaucht, ausgesprochen durch eine 

 überschüssige, nicht erfüllbare Bedingungsgleiclmng. Diese AVerthe «haben nebst der Bedingung 

 gleicher Wurzeln x noch andere Bedingungen zu erfüllen. Man erhält sie durch Auflösung 

 eines Systems zweier Gleichungen: 



P^O 



? 



d ,L- 



7^0 



4 



; 



i 





f 



1 

 i 



j F 



allein nicht alle auf solche Weise gewonnenen AVerthe von a sind wirklich Werthe a der 

 zweiten Gattung, sondern man liat noch eine bald längere^ bald kürzere üntex*suchung nach- 

 folgen zu lassen, die die Bestimmung der Folge-Coefficienten x, x ', . • • ^^i^^ Gegenstande luit, 

 eine Untersuchung, die mit der Ermittelung der mehrfachen Punkte bei einer ebenen Gurve 

 und der Bestimmung der dort stattfindenden Berührungsordnung zwischen den verschiedenen 



Curvenästen congruent ist. Die Ursache des für solche AVcrthe a eintretenden Verlustes an 



p. 



Wurzeln x ist das Vorhandensein gewisser Irrationalgrössen Va = 



p — 

 Via 



a) in denselben. Die 



Bestimmung der Werthe a der zweiten Gattung bildet den Scldüssel zur Ermittelung alhu- in 

 den AVurzeln der Gleichung erscheinenden Irrationalgrössen. 



Wir haben im Vorhergehenden nicht blos von den Störungen gesprochen, auf welche man 

 bei der aufsteigenden Entwickclung der Wurzeln einer algebraischen Gleichung mit rationalen 

 Coefficicntcn stossen kann, wenn man hierzu die Mac - Laurin'sche Formel verwendet, also 

 eine Methode gebraucht, welche bisher die einzige bekannte war; sondern wir haben auch an 

 den bezüglichen Stellen die Erwähnung gethan, dass die von uns angegebene und von einem 

 allgemeineren Gesiclitspuidcte abgeleitete aufsteigende Entwickolungsmethode keinen solchen 

 Zufälligkeiten und Störungen unterworfen sei, ja dass sie eben jene Bestandtheile liefere, welche 

 die Unzulässigkeit der Mac- Laurin'schen Entwickelungsweise bedingen. Es wurde zAvar 

 bisher diese Entwickclung nicht wirklich vollführt, sondern nur das Resultat derselben ange- 

 geben und dieselbe auf später verschoben, wo von der Bestinmmng der in den Wurzeln 

 erscheinenden Nenner und Irrationalgrössen gehandelt Averden soll. Der eigentliche Grund, 

 warum die von uns angegebene aufsteigeiule Entwickelungsweise stets zu allen Wiu'zeln der 

 Gleichung und in Form von lieihcn mit endlichen Coefficicntcn in den Gliedern führt, wälirojid 





