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Auflosinigsmethodefür algebrai.sclie Buclistabengleicliungcn etc. 



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die Mac-Laurin'sclie Formel für gewisse Werthc a dies nicht tlmt, sondern entweder gewisse 

 Wnrzcln gar niclit liefert, oder, falls man dieselben sicli erzwingen w^ollte, zu unendlichen Cocffi- 

 cienten führt, liegt darin, dass der Mac-Laurin'schen Formel die Voraussetzung der Form (5) 

 ZU Grunde liegt, mit lauter positiven und ganzen Exponenten von a in den Gliedern, während 

 unsere Entwickelungsweise auf keiner solchen Voraussetzung beruht, sondern im Gegentheile 



die Bestimmung der Exponenten in sich begreift. Da Avir also von einer viel allgemeineren 

 Form ausgehen, in der die (5) als ein sehr speci eller Fall enthalten ist, so besitzt diese 

 Methode allgemeine Giltigkeit und führt selbst dann noch zu brauchbaren Formen, Avcnn 

 die Mac- Laurin'scho Formel ungiltig wird. Gerade diese allgemeine Giltigkeit uiiserer 

 ^Methode für ganz beliebige a verschafft ihr den hohen praktischen AVerth , Aveil sie dadurch 

 Aufschluss zu ertheilen befähigt ist über gewisse Avichtigo Eigenschaften der Wnrzcln, Avährend 

 die auf die Grenzen der Stetigkeit beschränkte Entwickelung vermittelst der Mac-Laurin'schen 

 Formel fast ganz ohne Werth bleibt. 



IL Bestimmung der in den Wurzeln der Gleichung erscheinenden Nenner. 



§. 5. 



Ln Vorhergehenden AAnnxle bemerkt, dass die speciellen Werthe a der ersten Gattung 

 den ScMüssel abo-eben zur Ermittlung aller in den Wurzeln erscheinenden Nenner. 

 Es Avurde daselbst gezeigt, dass man durch Auflösung einer Zahlengleichung, die durch Null- 

 setzen des Cocfficienten der höchsten im Gleichungspolynome erscheinenden Potenz von x 

 hervorgeht, jene speciellen AVerthc a finde, Avolche eine Störung der vermittelst der Mac- 

 Laurin'schen Formel eingeleiteten aufsteigenden Eeihenentwickelung bedingen, indem sie für 

 das Anfangsglicd x Aveniger Werthe liefert, als zufolge der Gradzald m zu erAvarten stehen. 

 Es Avurde dort auch die Bemerkun<i hinzuR'cfüixt, dass die von uns gelehrte aufstei.2:ende 



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EeihenentAvickclung diesem Übelstande nicht unterliege, sondern alle m Auflösungen durch m 

 Anfangsgliedcr markire. Unter diesen Anfangsgliedern erscheinen nämlich genau dieselben x. 



Avelche die Mac-Laurin'sc)ie Entwickelungsweise liefert, aber überdies noch jene anderen, die 

 dabei verloren gingen. Diese Letzteren besitzen die Gestalt /^^a^^, enthalten also a, erhoben zu 

 einer Potenz mit einem negativen Exponenten, und es ist nunmehr vollkommen klar, Avarum 

 die Mac-Laurin'sche Formel diese Auflösungen verseil weigen mussto. Da nämlich der Mac- 

 Laurin'schen Formel die Voraussetzung zu Grunde liegt, dass die Eeihe nur Glieder mit posi- 

 tiven Exponenten von a enthält, so konnten vermittelst derselben offenbar nur jene Auflösujigen 

 gewonnen Averden, bei denen diese Voraussetzung AA^rklich erfüllt Avar; hingegen alle übrigen 

 mussten verloren gehen, bei welchen Glieder mit negativen Exponenten vorkommcji. Die von 

 uns gelehrte EntAAdckelungsmethode, der keine solche beschränkende Voraussetzung zu Grunde 

 lieo't, ist daher o-eeio-net, eben jene verlorenen Auflösungen zu liefern und dadurch über die 

 Ursaelic, warum die Mac-Laurin'sche Formel zu einem Verluste von Auflösungen führt, lielles 

 Licht zu verbreiten. Diese Eigenschaften unserer allgemeinen EntAviekelnngsmethodc Avurden 

 dort ohne alle Begründung angeführt, Aveil AAur schon damals die Absicht hatten , dieselbe 



folgen zu lassen. 



Hier soll nun die Entwiekelujig nach unserer Methode für die speciellen Werthe a der 



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ersten Gattuno- AAurklich ein£>-eleitet werden. Wir werden aber nicht nur Geloiifejdicit 



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Denkschriften der matlicm.-naturw. Cl. Abhandl. v. Nk-htiuitgl. XUI. Bd. 



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