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Ignaz Heger. 



die friilier gemachten Bemerkungen ausser Zweifel zu stellen und darzutliun, dass diese 

 Methode wirklich vor der Mac~Laurin'schen den Vorzug verdiene^ weil sie alle Wurzeln der 

 Gleichung liefert, sondern werden auch aus der Form der neu gCAvonnenen Anfangsglieder 

 einerseits Aufschluss erhalten über den wahren Grund, warum die Mac-Laurin'sche Formel zu 

 einem mangelhaften Eesultate führt, andererseits aber auch die für uns viel wichtigere Kenntniss 

 aller in den Wurzeln erscheinenden Nenner erreichen. 



Wir werden zuerst die Cocfficicnten A der gegebenen Gleichung: 



(17) 



P 



J±^x 



Ttl ' 



-^J-W— 1 -^ 



m — 1 



+■.... +A^ + ^ 











aufsteigend nach Potenzen der Grösse a:^a 

 gleichung 



a entwickeln, wobei o. eine Wurzel der Zahlen- 



(18) 



A 



■in 







bedeutet. Dies bewerkstelligt man durch die Substitution: 



(19) 



a 



a 



a 



in den einzelnen Coefficienten. Das Resultat dieser Substitution sei 



A 

 A 



A'^a + A';,a' 



A 





• » 



m — 1 



A 



m — 1 



A_; a + A" 



m — 1 



a 



A ^_-^ a 



3 



«4t 



(20) 



A. 



A 







Aj + A> + A"i a^ + A", a^ + 



Ao+Ao'a + A"oa'^ + A 



«4t 





« t 



Die hier aufgestellte Form der Coefficienten A ist unter allen die häufigste; es entspricht 

 nämlich meistentheils dem ersten Coefficienten nur ein einziger Factor a, während alle übrigen 

 keinen solchen besitzen. So lange also der gewöhnliche Fall stattfindet, a nur eine einfaclie 

 Wurzel der Gleichung (18) ist und für diesen speciellen AVerth a^=:ia alle übrigen Coeffici- 



enten A 



4 



^ . . . A 



2} 



A-^j Aq Yon Null verschieden ausfallen, sind die Gleichungen 



20 



um. Platze. Es kann sich jedoch treffen, dass entweder a eine Aviederholte AVurzel der Glei- 

 chung ^^ = und demnach das erste von Null verschiedene Glied von A^ in (20) A"„^a^ 

 oder noch ein späteres ist, oder dass für a=:za gleichzeitig mit A^^ auch ^^_i, und vielleicht 

 auch A^^2i • • ' ' verschwinden. Alle diese verschiedenen Fälle werden Einfluss nehmen auf 

 die Gestalt der Anfangsglicdcr der nach a geordneten Coefficienten (20) und Wurzeln x. 

 Es kann aber ferner noch sich ereignen, dass einzelne der Coefficienten A überhaupt nicht 

 mehr in der Form (20) nach aufsteigenden Potenzen von a mit ganzen und positiven Expo- 

 nenten cntwickelbar sind, da sie wohl auch Irrationalgrössen oder Nenner bergen, überhaupt 

 für a i^ <z unstetig werden können. Daher ist es nötlu'g, alle diese verschiedenen Fälle geson- 

 dert der näheren Betrachtung zu unterwerfen, und für einen jeden einzelnen unter ihnen die 

 Form der Anfangsglieder von x zu bestimmen. Diese im Anfange vielleiclit minutiös erschei- 

 nende Untersuchung wird zu einer allgemeinen und sehr einfachen Regel, führen, welche in 

 Betreff der in den Wurzeln erscheinenden Nenner die gewünschten Aufschlüsse ertheilt. 



§ 



6. 



1. Beginnen wir mit dem gewöhnlichsten Falle, wo A^, und A„,_t in den Ausdrücken 

 (20) von Null verschiedene Werthc besitzen und entwickeln wir unter dieser Voraussetzung 



