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Auflösungsmctliodeßlr algebraisclie Buchstabengleicliungen etc. 



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X aufsteigend nach a. Die mit der niedricrsten Potenz von a versehenen Glieder der successiven 



b 



Coefficienten weisen die Exponenten: 1, 0,... auf. Die dabei in Betra(3ht kommenden 

 Quotienten sind demnach : , 



1 





1 





1 



1 



•} 



2 







? 



3 

 



; 



j 



? 



m 







■m 



und wir erhalten daher zwei AVerthe von f^ nämlich: 



21 







1 und f, 











Die zur Bestimmung' der Coefficienten \ dienenden Gleichungen sind: 



für ^^ 

 für ^, 



1 , a;vh--a_,V'-^ = o 







9 





* # 



k,h 







Ao-0 



(22) 

 (23) 



Die erste liefert einen einzigen von Null verschiedenen Werth von^o, die zweite aber 

 deren m~~l an der Zahl, so lange Ä^ von Null verschieden ist. Wir gewinnen also m Anfangs- 

 glieder : eines von der Form : 



(24) 



Ao^ ^ 



Am— 1 

 Am a 



welches a = a — a im Nenner besitzt, und m — 1 andere die kein a enthalten. 



Hätte man vermittelst der Mac-Laurin'schen Formel diese Entwickelung einzuleiten ver- 



suchtj so wäre die Gleichung: 



P 







r 



aufzulösen o-ewesen. Dieselbe besitzt in dem hier vorausgesetzten Falle die Gestalt: 



P 



und ist daher von der 



-^m— 1 ^ 



771 — 1 



A 



m—2^ 



m—2 



+ ....+ AiX 4- A 











2 



ni 



icht verschieden, welche die zu c 







gehörigen Coefficienten- 



werthe ha zu geben bestimmt ist. 



'0 



Vergleicht man diese beiden Eesultate, so zeigt sich, dass die Mac-Laurin'sche Formel 



nur m 



1 Auflösuno-en, die vollkommenere Entwickelimgsmethode aber alle m Wurzeln 



liefert. In den m— 1 Anfangsgliedern, die dem a^ proportional sind, stimmen beide Methoden 

 vollkommen überein, und der Unterschied besteht nur in dem einzigen Anfangsgliede (24) 

 welches dem a"' proportional ausfällt. Man bemerkt ferner, dass in diesem Falle eine einzige 



Wurzel mit dem Nenner a 



a 



a versehen erscheint. Die iVnwesenheit dieses Nenners 



bildet den eigentlichen Grund, warum die für diesen speciellcn Werth von a mittelst der Mac- 

 Laurin'schen Formel eingeleitete EeihcncntAvickclung einen Verlust einer Wurzel x und somit 

 auch den einer Auflösung x aufweist, so lange man sich auf endliche Werthe von x beschränkt; 

 denn diese Wurzel x, so wie alle ihre Differentialquotienten werden für a = a unendli(di und 



sind demnach vermittelst der Mac-Laurin'schen Formel nicht entwickelbar. 



Man p-elano-t also zu dem Schlüsse, dass bei dem Vorhandensein eines 



einzigen Factors a 



nom 



a — a im ersten Coefficienten A^,, des Gleichungspoly- 

 es, und dem Fehlen desselben im zweiten Coefficienten A,^_^ eine ein- 



— a — a versehen sei. Dies gilt auch dann noch, 



zige AVurzel mit dem Nenner a 



wenn einige der nachfolgenden Coefficienten A,,_.^, . . . A,, den zweiten A^_, ausgenommen 



11 



Ä 





n 



r 



