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iMm^ 



X 

 y 



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Ignaz Heger, 



einen oder wiederliolte solche Factoren aufweisen würden, denn dadui'cli könnten höchstens zu 

 dem sonst bestehenden zweiten "Werthe ^^ ^ noch positive und von Null verschiedene 

 Werthe von Co treten; aber die diesen entsprechenden Auflösungen sind mittelst der Mac- 

 Laurin'schen Formel ohne Anstand entwickelbar. 



2. Es sei a eine wiederholte Wurzel der Gleichung A 



m 



0, also a 



a 



a zwei- oder 



mehrmal z. B. r — mal Factor von -4„,, hingegen -4,,,„i ohne einen solchen Factor. Die Form 



der aufsteigend nach a geordneten Coefficienten des Gleichimgspolynomes ist dann wegen: 



(2.' 



5 



A 



7JZ 



A ' 



A (r-1) 







folgende 



(26) 



A 



rrt 



A/^a" 4- AJ'+-'^V'+' 



^m-i — ^m.-~i + A^_^ a 4- A^_i a' 



Dieselben weisen die niedrigsten Exponenten von a 



r 



auf und liefern für ^^^ die zwei Werthe: 



5 











(27 







r un 



d 



Die Bestimmungsgleichungcn für li^ sind: 



^ 



Cu 



.0 



(28) 

 (29 



für ^ 



für I, 













, A^_Ji 



m — 1 











A Ä ^''~^ 



* 4 



1 



\..k 







A 











Man ersieht hieraus, dass wieder nur eine einzige Wurzel den Nenner aufweist. Ihr 



Anfangsglied ist: 



(30) 



Am— 1 



Alle übrigen Wurzeln m — 1 an der Zahl beginnen mit einem von a völlig freien Gliede. 



Selbst wenn zufälligerweise A^ gleich Null ausfallen, also A^ einen Factor a = a — a ein- oder 

 mehrere Male aufweisen oder sogar eine Gruppe der letzten Coefficienten mit Factoren a ver- 

 sehen sein sollte, würde dies nur insoferno eine Änderung bewirken, dass eine oder mehrere 

 derjenigen Auflösungen, die hier mit einem von a freien Gliede beginnen, dann ein Anfangs- 

 glied mit einem positiven und von Null verschiedenen ^^ erhalten würden. Der Nenner a 

 erscheint aber stets nur in einer einzigen Wurzel und zwar zur r*'" Potenz erhoben. 



Wollte man die Mac-Laurin'sche Formel hier anwenden, so würde man zur Bestimmung 

 von X die Gleichung:: 





p 



A ^ ^^~'^ 



A ^^"-2 



. . . + AjX + A 











aufzulösen haben, die mit der (29) vollkommen übereinstimmt. Diese Entwiekelungsweise 

 würde also nur m — 1 Wurzeln durch ihre Anfangsgiiedcr markircn; die unter allen wichtigste, 

 mit dem Nenner a'' versehene jedoch gänzlich verschweigen. Der Grund hievon liegt klar am 

 Tage, denn die der Mac-Laurin'schcn Formel zu Grunde liegende Voraussetzung schliesst sie 

 aus dem Bereiche der Entwickelung, so lange von endlichen Werthen von x gesprochen wird. 



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