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Ifjnaz Heger. 



so gellt daraus hervor, dass diese Auflösungen^ 6* an der Zahl, die Nenner: 



a 



a)^' 



j 



a 



a 



h 



1 • 



« » 



a 



a 



k. 



besitzen. 



^ 



Geht man in der Bestimmung der Werthe von f^ weiter, so hat man so zu verfahren, als 



ob die Gleichung: 



33) 



A 



m — s 



X 



m — $ 



"T~ -^^m— ß— 1 ^ 



m—s—1 



-L . . . -f Ai X + A 











vorliegen würde. Es wird sich nur der AVerth f, 







ergeben, der m — s Auflösungen ange- 



hört. Selbst das Nullwerden von A(y oder einer Gruppe der letzten Coefficienten kann 

 keine andere Veränderung herbeiführen, als dass nebst dem Werthe f q ^ noch positive 



d 



und. von 



freien Auflösungen ist stets gleich 



Werthe von f^ auftauchen. Die' Anzahl der vom Nenner a 



771 



s. Unter den hier vorausa'esetzten Umständen 



erhält man also s Auflösungen mit Nennern, die bestimmte Potenzen von a sind^ versehen 



und 



s Auflösungen, die keine solchen Nenner besitzen. 



m— 



Die Mac-Laurin\sche Entwickclungsweise führt in diesem Falle zur Gleichung: 



P 



A 



m—s 



X 



m — s 



-fA 



m — s — 1 



X 



m — s 



■' + .... + A^x + A 











^ 



und liefert daher nur m — s Werthe x, also genau dieselben Anfangsglieder, wie die allgemein 

 giltige Entwickelungsmethode, aber nur für jene Wurzeln, die keinen Nenner a besitzen. Die 



übrigen mit Nennern a versehenen Wurzeln s an der Zahl verschweigt sie gänzlich aus dem 



bekannten Grunde. 



Wenn daher im Gleichungspolynome eine Reihe von Coefficienten der 

 höchsten Potenzen von x einen Factor a gemeinschaftlich besitzen, so gibt 

 die Anzahl derselben zugleich die Zahl der Wurzeln an, in welchen a, zu 

 gewissen Potenzen er hoben, als Nenner vorkommt. Die Exponenten k dieser 

 als Nenner fungirenden Potenzen von a ergeben sich aus den Zahlen: r^., 

 r2 , . . . ?%, 0, welche angeben, wie oft a in den C oefficienten 4,„, Ar.-n • • • - ^ms-i-i j 

 -4^_5 als Factor enthalten ist, wenn man auf dieselben die bekannte, zur 

 Ermittelung von f^ fti^ ^^^ aufst ei.ö; ende Ent Aviekelun^ dienende Regel in 

 Anwendung bringt. 



. 7. 



Aus diesen Untersuchungen ergibt sich eine sehr einfache Regel, um bei einer gegebenen 

 Buchstabengleichung die in ihren AVurzeln erscheinenden einfachen Nenner und die Art ihres 



Vorkommens zu erfahren: 



H 



Man betrachte den Coefficienten ^^ der höchsten Potenz von x. Ist der 

 selbe ein a enthaltend er Ausdruck; so kann man hieraus mit Gewissheit 



au 



f 



die Existenz von Nennern schliess cn. Ist derselbe hingegen eine bestimmte 

 Zahl und von a völlig unabhängig, so bestehen gar keine Nenner in den 

 Wurzeln der Gleichung. Nun setzte man A,,^ (vorausgesetzt, dass es a in sich 



enthält) < 

 chung: Ä 



b 



Wurzeln dieser Zahleng 



W 



= 0. Man gewinnt so alle AVerthe a der ersten Gattung. Einem jeden 



eine Grösse 



a 



6{r=i:a, die in A^ ein- oder mehrere 







