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Auflösung smetliodG für algebraische Buclistabengleichungen etc. 



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Male als Factor, in Einer oder mehreren der Genüge leistenden Functionen 

 der Buclistabengleicliung aber als Nenner ersclieint. Der näcbste Schritt 

 bezweckt nun, genaueren Aufschluss zu ertheilen über die Art des Vorkommens 

 dieser Nenner. Man hat desshalb jeden durch Auflösung der Zahlengleichung 



gewonnenen einfachen Factor a 



a 



a einer eigenen Untersuchung zu 



unterwerfen und folgende zwei Fragen zu beantworten: Erstens, in wie vielen 

 Wurzeln x erscheint die Grösse a als Nenner? Zweitens, zu welcher Potenz 

 ist sie in diesem Nenner erhoben? 



Eigentlich erheischt die Beantwortung dieser beiden Fragen die Einleitung der aufsteigend 

 nach Potenzen einer solchen Grösse a = a — a geordneten Eeihenentwickehmg von x, und 

 es würden dann namentlich jene Anfangsglieder, welche negative Werthe des Exponenten 





ü 



aufweisen, die gewünschten Aufschlüsse geben. 



Die aufsteiiiT.nde ßeihenentwickelung 



ö 



aber erfordert im Grunde immer, dass das Gleichungspolynom durch eine vorhergehende 



r 



a^-a geordnet Averde. In jenen Fällen abei 



? 



Transformation nach Potenzen der Grösse a 

 wo nur das Vorkommen der Nenner genauer untersucht werden soll, reicht es hin, die Werthe 

 von fo 2U ermitteln, und hiezu kann man die Transformation der Gleichung umgehen und 

 nach der nachfolgenden Pegel verfahren : 



Um die erste dieser beiden Fragen zu beantworten, untersucht man 



? 



in wie vielen der Anfangscocfficienten der Gleichung der Factor 



a^a. 



a 



erscheint. Die Anzahl dieser Anfangscocfficienten ist zugleich die gesuchte 

 Anzahl der Wurzeln, welche diesen Nenner besitzen. Sind 5 Anfangscoefficienten: 



A A A 



A 



,., A.~-s+i niit dem Factor {a—a) versehen, hingegen der nächstfolgende 



m—s 



davon frei; so erscheint in s Wurzeln der Gleichung ein Nenner von der Form 



af 



Die Beantwortung der zweiten Frage besteht in der Angabe des Wer thes von 

 k in diesen s Wurzeln. Man hat zu diesem Ende die Anzahlen derFactoren 

 a — a in der Gruppe von Anfangscocfficienten: 



\' 



■^1 



* 



t 



A'm j ^m— 1 7 ^m— 2 ? ■ • • * ^i 



m^s-\- 



.,Ä 



m — s 



der ßeihe nach aufzuschreiben 



sie mögen folgende sein 



^1 7 ^2 ; ^3 ? • • ' * ^« ? ^-^ 



I 



— und auf diese Reihe von Zahlen die bekannte Regel in AnAvendung zu 

 bringen, welche den Werth des Exponenten ^^ im Anfangsglicde der nach auf- 



steigenden Potenzen von a 



a geordneten 



Ent Wickelung von 



X liefert. Man 



gewinnt aus ihnen eine Reihe von negativen Werthcn für Co? und diese mit ent 



gegengesetzten Vorzeichen genommen, 



W 



stellen die W 



von k für diese s 



zeln vor. 



Wir wollen nun an einem Beispiele die Anwendung dieser Regel zeigen: 



[4 ai' 



I 



9 a' 



a 



9 a— 5]x*+[— 12 a 



47 a 





84 a 



2 a« 



2 aJ' 



2a^ 



a 



+ [Qa' + 16a^+ 22 a* 



13a 



3 



51a' + 89 a + 37]x^ + 



— 33a+ 6]cc4- 



[— 24 a*— lGa' + 36a 



9 



4] 



24 a 







47 a + lQ]x 





