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Auflösimgsmetliodeflu' algehraisclie Buchstahengleichungen etc. 



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In diesem Beispiele gelingt mit Hilfe dieser Untcrsiicliung der Nenner sogar die comjjlcte 

 Auflösung der Gleichung in gescHossener Form. Beginnen wir mit der aufsteigenden Ent- 

 wickelung, geordnet nach Potenzen von a — 1, derjenigen Wurzel, welclie diese Grösse im 

 Nenner besitzt. Man niuss zu diesem Ende die Gleichung umformen und ihre Cocfficienten 

 nach Potenzen der Grösse a — 1 aufsteigend ordnen. Dies erreicht man vermittelst der Sub- 



stitution : a 



a + 1 und erhält so die transformirtc Gleichung : 



t 



52a'+ 25a^+ 4a-']x-^+ [—180 — 401a— 297 a^ — OSa-' 



[3Ga 



[+180 + 192a + 28a^ 

 [__20 + 84a+ 319 a' 



47 a^ 



38 a* 



14 a° 



- 2 a«] x" + 

 355 a^* + 192 a^ + 52 a' + 6 a«] x + 



+ [+20— 108a 



192 a' 



112a^ 



24 a*] 



0. 



Diese liefert für x einen geschlossenen AVerth: 



X 



^ 1 ^ 



3 « -h 2 



a 



a—X 



12a'J«^ 



l 



und die nbrio-en drei Wurzeln in Form von unendlichen Ecihen. 



Man erhält noch einen zweiten Genüge leistenden AVerth von jc, wenn man die aufstei- 

 gende Rcihenentwickelung nach Potenzen von a + 1 ordnet. Es ist aber hiezu notli wendig 

 früher durch die Substitution a = a — 



1 die transformirtc Gleichung : 



[— 2a^ 



7a^ + 4a"]x* + [+8 + 28 



a 



15 a^ 



a* 



12 a*] 



X 



4 



4 a 



38 a' 



17 a'— 18 a 



1 



10 a^ 



2 a'' 



[+40 

 [—20 



68a*4- 77 a- 



Gla 



3 



32 a' 



20a'^+ Q>ii']x 



84a 



96 a- + 80 a' — 24 a*] 







f 



abzuleiten, deren Goefticieuten nach Potenzen von a 



a 



1 aufsteigend geordnet sind. Der 



gescblossene AA^erth von x bei dieser Gleichung ist ein einziger: 



r 



X 



a' 



a~ + 2a + l 



Hs unterliegt nun keiner ScliwieriR-keit mehr, aueh die beiden anderen Wurzeln in ^esclilus- 



fe 



sener Form zu finden. Dividirt man nämlicli das Gleichungspolynom der ursprünglich gege- 

 benen Gleichurio: durch das Product der beiden gefundenen Wurzelfactoren: 



( 



a 



l\x 



6 a 



2 und (a^ + 2a+ l)x — 4, 



so geht die quadratische Gleichung: 



hervor, deren Wurzeln sind: 



(4a 



b)x 



^d 



X 





un 



d 



X 



4a -+ 5 



3 







V2 0.^—3 

 4a + 5 



Man gelangt also hier ohne Schwierigkeit und auf einem geregelten Wege zu den vier 

 Genüge leistenden Functionen der vorgelegten Gleichung in geschlossener Form: 



3aH-2 



a 



\ ' ff'^ + 2« + l ' 



2a^*— 3 

 4« + ö 



? 



^a -1-5 



Denkschriften dor mathem.-naturw. Cl. XIII. Bd. Abhaudl. v. Nichtmitgl. 



Ai 



