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Ignaz Heg er. 



Hier findet man Gelcgenlicitj sicli dureli den unmittelbaren Anblick von der Wahrheit der 

 früheren Ergebnisse zu überzeugen; ja noch mehr, man sieht mit leichter Mühe ein, dass hier 

 gerade die Untersuchung der Nenner auch für das Auffinden geschlossener Formen von 

 Nutzen war, indem nur die nach Potenzen der Grössen a — 1 und aA-\ geordneten Entwicke- 

 lungen geschlossene Formen für je eine Wurzel zu liefern im Stande sind. In unserer Absicht 

 liegt es jedoch hier nicht, diesen Punkt vollkommen zu erledigen und die Pegeln vollständig 

 zu entAvickeln, um geschlossene Formen der Wurzeln überall, wo es nur möglich ist, zu erhal- 

 ten; nur so viel wollen wir bemerken, dass die hier eingeleiteten Untersuchungen dazu unent- 

 behrlich wären. Auch die von Lagrange gelehrte Entwickelungsweise der Genüge leistenden 

 Functionen in Form von Kettenbrüchen wäre ein geeignetes Mittel, um die in Form eines 

 algebraischen Bruches mit geschlossenen Polynomen im Zähler und Nenner erscheinenden 

 Genüge leistenden Functionen darzustellen. Mehr ins Detail dieser Aufgabe einzugehen, liegt 

 hier nicht in unserem Plane. 



Bei der Untersuchung: der Nenner kann aber noch eine andere Fra^-e auftauchen, näm- 



b 



J 



lieh: ob zwei verschiedene Nenner 



a 



a,f\ 



a 



«2)^- in einer und derselben oder in verschie- 



<p(a) 



denen Wurzeln x erscheinen; mit anderen Worten: ob eine Wurzel in der Form: 

 oder zwei Wurzeln in der Form: 



(p^(a) 



[a — <^i)^^i 



oder 



^21« 



, bestehen. Diese Fraö;e hat allerdinp-s eine 



■ 9^2 



vollkommen bestimmte Bedeutung und lässt sich auch stets beantworten, allein die hier gege- 

 benen Pegeln, welche nur die Anfangsglieder der aufsteigenden Entwickelung in Berücksich- 

 tigung ziehen, reichen dazu nicht hin. Man muss dazu die sämmtlichen Wurzeln in mehreren 

 Gliedern entwickeln und falls nicht die Form von ^(a) oder (p^ (a), ^-.^ (a) zufällig eine geschlos- 

 sene ist, das Ergä.nzungsglied der unendlichen Peihe mit in Betrachtung ziehen, Avie am 

 Schlüsse dieser Abhandlung gezeigt Avird. In jedem Falle nämlich muss man, geometrisch 

 gesprochen, den Curvenast, dem der Nenner (a — ry.^y^ angehört, so weit verfolgen, bis man in 

 den Bereich des Werthes a::=a2go\ixi}gtj wo sich dann die Frage ohne Schwierigkeit entscheidet. 



Anhang*. 



Einen nicht unwichtigen Aufschluss gewährt es, die in den Genüge leistenden Functionen 



erscheinenden einfachen Factoren kennen zu lernen. Dazu ist gleichfalls die aufsteigende Ent- 



dnet 



Wickelung dienlich, wenn man die Grösse a 



a. nach deren Potenzen die Peihe L>-eor 



) 



ö 



wird, entsprechend wählt. Man gelangt nämlich dann zu Anfangsglicdcrn von der Form 







a 



— 0)^% wo 1^0 einen positiven Werth besitzt, und gewinnt dadurch die Überzeugung, dass 

 {a — fif^ ein Factor der Genüge leistenden Function ist. Dies ereignet sich immer dann, w^enn 

 für a=^o, der Coefficient A^^ der nie drigsten Potenz von x verschwindet, d. h. wenn a eine 

 Wurzel der Zahlengleichung ^^^ = ist. Die vermittelst der Mac-Laurin scheu Formel einge- 

 leitete Entwickelung würde in der Gleichung P^:::::0 eine oder mehrere Wurzeln Null liefern, 

 weil Aq identisch gleich Null ist. 



leistenden Functionen einer Buchstabenglcichung lässt siel 

 wie zur Bestimmung der Nenner: 



Für das Aufsuchen der einfachen Factoren der Genüge 



eine ähnliche Peirel aufstellen, 



Man zerlege den letzten Coefficienten ^,,, der mit der niedrigsten Potenz von x. multipli- 



cirt ist, in seine einfachen Factoren a—a vermittelst Auflösung der Gleichung A^ 



=0 und leite 



, j 



_i_\n^ 



