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Aiiflösioir/smethode fllr algehraisclie BucIistahengleicJmngen etc. 



163 



nun für jeden solchen Factor a — a , die aufsteigend nacli Potenzen desselben geordnete lieihen- 



entwickelung x ein nach der bekannten Re^'oL 



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III. Bestinimuni>' der Irrationa] ^^r össcn^ Avolclie In Jen Wurzeln der Gleichung vorkom 



m 



en und eine ünterbrecli un a- der Steti^-keit li erbclfülircn. 



§• 8. 



In S. 4 xresehah Erwähnuno- g-ewisser specieller AYerthc von a, für welche die nach der 

 = (2 — a aufsteigend geordnete Eeihenentwickelung einer eigenthümlichen Stcirun 



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Grösse a = 



I 



unterliei^t, wenn man hiezu die Mac-Laurin'sche Formel benützen will. Es geschieht nämlich, 

 dass bei der Bestimmung eines gewissen späteren Entwickelungsgliedes ein AViderspruch in 

 den Bedingungsgleichungen auftritt, wodurch man bcmüssigt wird , zwei oder mehrere AVur- 

 zeln ganz und gar aufzugeben, weil es unmöglich ist, durch endliche AVerthe der Cocffici- 



enten Genüge zu ieistcn. 



Dieser AViderspruch tritt nicht bei dem Anfangsgliedc der Entwickelung , sondern erst 



m Foh^-eadiede auf, o-ibt sich also nicht anfangs, sondern erst im weiteren Verlaufe 



bei 



ei enie 



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der Entwickelung kund. Diese Störung kann aber nur dann Platz greifen, wenn zwei oder 

 mehrere verschiedene AA^urzehi in den Anfangsgliedern übereinstimmen und ist an spccielle 



AVerthe von a gebunden, die wir dort der zweiten Gattung zugezählt haben. Es wurde auch 

 dort 0-esao-t. AvicAvohl niclit erwiesen, dass die von uns gezeigte EeihenentAvickelung keinem 



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solchen Übelstande unterliegen könne; dass sie vielmehr Aufschluss erfcheile über den eigent- 

 lichen Grund dieser Störung, indem sie anfangs genau dieselben Entwickelungsglieder wie 

 die Mac-Lam^Insche Formel liefert, aber dort, wo eben die Störung eintritt, ein Glied folgen 

 lässt, welches a zu einer Potenz mit gebrochenem Exponenten erhoben aufweist, so zwar, dass 



olclie Störung stets einer Irrationalgrösse zu verdanken hat, w^elche unter dem 



— a — a besitzt. Sie gibt nicht nur darüber Aufschluss, sondern 



man eme s 



AA^urzelzcichen den Factor a = a — 



bezeichnet auch eine Anzahl AVurzeln, in welchen diese Irrationalgrösse je in ihren verschie- 



denen Bedeutungen erscheint. 



In diesem Paragraphe soll einerseits diese früher gemachte Behauptung erwiesen und 

 ferner noch das Wichtigste über die Bestimmung der in den AVurzeln der Gleichung erschei- 

 nenden Irrationalgrössen abgeliandelt werden. 



AA^ir erwählen daher einen AA^ertli a der zweiten Gattung, d. h. eine Auflösung a der zwei 



Gleichungen 

 36 



I 



und 



dP 



d X 







und bewerkstelligen nun die aufsteigende Entwickelung nach der Grösse 



der von uns g 

 Gleichung: 



a 



a 



a \ 



.'ermittelst 



clchrten Entwickolungsmethode. Zu diesem Zwecke sind die Coefficienten der 



37 



/ 



A^.^x- + A 



m—1 



X 



m— 



— j— .... — i~ jCi.^X -p -^0 







aufsteigend nach der Grösse a zu ordnen. Dieselben seien in dieser Gestalt folgende 



(38 



A 



m — J 



A,„ + AJ a -^ A,;' a^ 



A,„_i+-A_;a + A 



m—\ * 





* 



I 



