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164 



A, 



A 



Ignaz Heger. 



= A, + Ao'a + A;'a^ + 



Es ist hier stilLscliweigcnd die Voraussetzung gemacht, dass A^, K^-^, . . . . A^, A^ von 

 Null yerschicden sind, eine Voraussetzung, die avoIiI in der Regel erfüllt sein wird. Nichts 

 desto weniger gelten unsere unter dieser Voraussetzuno- P^ezoircnen Folp^erun^ren mit den 

 betreffenden Änderungen auch für jene Fälle, wo einige dieser Grössen gleich Null ausfallen. 

 "Wir gehen vor der Hand über diese Fälle hinaus, und wollen sie später zur Sprache bringen. 



Da in allen Goofficienten die niedrigste Gradzahl von a Null ist, so wird ein einziger Werth, 

 nämlich : Cu = 



gefolgert werden. Diesem Werthc entspricht die Bestimmungsgleichung: 



(39 



A^ h^ -Y A^_ ^ li 



m — 3 







• # > < 



A,h 







A 







0. 



Die Anfangsglieder sämmtlicher Wurzeln x sind demnach von a frei und constante 

 Zahlen, nämlich die für h^ heiworgehenden Werthe. 



Unter diesen werden hier zwei oder mehrere gleiche erscheinen, weil, der getroffenen 

 Wahl des Werthes a entsprechend j die beiden Gleichungen (36) erfüllt sind. Die Auflösuno- 

 dieser beiden Gleichungen besteht nämlich, Avie bekannt, im Grunde darin, zuvörderst a der- 



massen zu wählen, dass für den speciellen Zahlwei-th a = tt die beiden Polynome P und ~- 



dx 



einen ;r enthaltenden Factor gemeinschaftlich besitzen, der daher für einen entsprechenden 



Werth von x Null werden kann, wobei dann P und — gleichzeitig^- verschwinden. Dieser 



dx ^ 



gemeinschaftliche Factor ist nun wohl in der Ecgel nur vom ersten Grade , so zwar, dass man 

 beim Nullsetzen desselben nur eine einzige Wurzel x gewinnt. Darm erscheint aber dieser 

 Factor in 



dP 



dx 



nur einmal, in P hingegen zweimal, und der gewonnene Werth von x ist daher 

 eine doppehe Wurzel der Gleichung (37) für a=a oder, was dasselbe ist, der Gleichung (39). 



Gelegentlich aber kann dieser für a 



a in P und 



--— gemeinschaftlich erscheinende Factor 

 nach X einem höheren Grade angehören und wird sich dann in mehrere einfache Wurz(d- 

 factoren zerlegen lassen, entweder in lauter von einander verschiedene, oder in gleiche. Jeder 

 solche Wurzelfactor x — Ti^ wird aber dann stets in P um einmal öfter erscheinen, als in —. 



dx 



Aus dem Gesagten geht daher hervor, dass man im. Allgemeinen nur zwei gleiche Wurzeln \ 

 mit Sicherheit erwarten könne, sich aber gelegentlich treffen wird, dass in Folge zufällig statt- 

 findender Eelationcn drei und noch mehrere gleiche Wurzeln Ä^, Avohl auch mehrere verschiedene 



Gruppen von solchen auftreten. Alle diese verschiedenen Fälle nehmen Einfluss auf die gegen- 

 wärtige Untersuchung und wir Averden desshalb all' diese verschiedenen Fälle gesondert zu 

 rmtersuchen haben. 



§.9. 



1. Der gewöhnlichste von allen ist derjenige, wo die Gleichung (39) zwei gleiche AVurzeln 

 Ä^ aufweist, wo also für diesen speciellen Werth \ 



39 



A Ä "' -k A T) 



m — 1 



# * # 



kjl 



Ü 



A 











und 



(40 



m A^ h*~' 



m- 



i:)K_ji 



m—2 







. . . . + A, = 



._^r^^ ^- ■"■ 



