^'' I 



^\ 



Auflösimgsmethodefür algebraische Baclistabenglelclnmgen etc. 



165 



ist, aber 



(41) 



m m 



l)Khr' ^- (^-l)(»^-2)A_,7^,' 



m—Z 



. . + 2A 



2 



von Null verscliiedcn ausfällt. 



Schreiten wir zur Bestimmung der Folgeglieder, die zu diesem Anfangsgliede Ä^ gehören 

 Das auf Aq folgende Glied wird hier, wie bekannt ^ nicht aus einer Gleichung des ersten, son- 

 dern aus einer des zweiten Grades geAvonnen. Diese Gleichung ist folgende: 



i'J 



) 



^Poa^" + |)o'a''»'xi + |.&o"a 





0, 



"WO 



a^» 



^0 



ausfällt, so lange 





m A,; Äo 



m VI' 



\ I L m—1 



-m 



;h 







-|- .... + Ai Aq 4" A(j J 



a 



m—\ 



4(/»-l)A_//C-'+ .... +A/]a 



i\kjir' 



m-—i){m-^2)A^_,h,"'-^ ' 







• ■ • • 4" " AgJ 



43 



A,;/C + A_/V"-' i- ....+ A/Ao + Ao' 



von Null verschieden bleibt. AYendet man auf diese Gleichung die bekannte EeR'cl zurBestim 



to 



niung der Anfangsglieder von x^ an, so findet man dieselben in der doppelten Gestalt: 



44 



X- 



2^ 







W' 



a2 



# * • * 



7 



cc 



2^& 







*o^' 



a^ 



Vergleichen wir dieses Ergebniss mit demjenigen, welches die Mac-Laurin'sche Formel 

 geliefert hätte, so sehen wir, dass dort die Gleichung 



P 







mit der 



o 

 



9) identisch ist imd daher 



die Anfangsglieder x mit den h 







vollkommen überein- 



stimmen, die zweite der Gleichungen (G). die : 



45 



F.x +Pi = oder P 



1 







spricht einen Widerspruch aus, wenn man initer x eben jenen speciellen hier betrachteten 

 Werth Z^t. versteht, der als doppelte Wurzel der (39) erscheint, und zwingt dahei^, auf diese 

 zwei Auflösungen x Verzicht zu leisteii, Avährend unsere Methode ohne alle Schwierigkeit zu den 



Folgegliedern führt. In denselben erscheint aber die Trrationalgrösse vä=Va — a und es ist 

 auf diese Weise unmittclbaj- ersichtlich, dass die Mac-Laurin'sche Entwickclung hier auf einen 

 AViderspruch stossen musste, da sie nur ganze Werthe der Exponenten von a voraussetzt. 



Es ist auch überflüssig, die Entwickclung weiter foitzuführcn, um über das Vorkommen der 



Irrationalgrösscn , die 



a 



a unter dem Wurzelzeichen besitzen , Aufschluss zu erhalten 



; 



denn da mit der Bestimmung der zweiten Entwickelungsgliedcr (44) die mit dem gemein- 

 schaftlichen Anfangsgliede h^) versehenen zAvei Wurzeln x isolirt sind, so ergeben sich die 

 übrio-cn Glieder durch eine blosse Division und es kann daher keine neue Irrationalö^rösse 



Ö 



mehr in ihnen auftauchen. 



2. Es sei Jiq eine doppelte Wurzel der (39), also auch die (40) erfüllt, der Ausdruck (41 



aber von Null verschieden; ferner sei 



(46 



Ajh;' + A^JJi 



i 



a; k 



\ ' — 



% 





_■_ j X >yi_\M 



