:^ 



166 



Ignaz Heger. 

 In diesem Falle geht die Bestimmung der zweiten Entwickclungsglieder in einer anderen 



"Weise vor sich. Es ist nämlich dann: 



■ I ^ 



(47) 



Öo« 



5in-. 



[k:ii 



m 







A 



// 7 ^— 1 



m—1 '^0 



. ... -+A/'Äo+ A;']a% 



Fi i 



während f)o'5^"^^' und |)oa"''^"" die früheren AVerthe fortbchalten. Die Gleichung (42) liefert nun 

 für x^ Anfangsglieder von der Form: /z^a. 



Die zur Bestimmung ^on h, dienende Gleichung- 



A 



// 



„ K^ + K-l'K^' +••••+ KK + K + 



(48) 



[ 



m A„' Äo 



m—1 



TU' 



1)A_/Ä 



m—2 







. . . . ■-p xVj /^j' 



m(m— 1) A,„Ao'"-'+ (m— l)(m— 2)A_,/C-' + . . . . + 2K]li, 



^mJ 







l 



ist vom zAvciten Grade. Sie liefert in der Regel zwei verschiedene AVerthe dafür, kann jedocl 

 auch gleiche Wurzeln aufweisen. Findet das Erstere Statt, so erfolgt mit der Bestimmung des 

 ZAveiten Entwickelungsgliedes die Trennung der noch nicht getrennten zwei Wurzeln und die 

 weitere Entwickelung kann zu keinen Irrationalgrössen mehr führen, weil alle Folgeglieder 

 durch Auflösung von Gleichungen des ersten Grades j also durch Division hervorgehen. Sind 

 aber zwei gleiche Werthe von hi erlialten worden, also die zwei AVurzeln x in den zwei 

 ersten EntAvickelungsgliedern vollkommen übereinstimmend, so ist Aveder die Trennung der 



Wur 



Man 



wird daher zur Bestimmung der dritten Entwickelungsgliedcr k^a^' schreiten. Da dieselben 

 gleichfalls aus einer quadratischen Gleichung gezogen werden, deren Coefficienten meisten- 

 theils die Factoren a^, a^, a^ aufweisen, so Avird gewöhnlich der Werth: 



(49) 



e; 



1^ 



hervorgehen, womit das Erscheinen der Irrationalgrösse v a 



v\ 



V 



a 



a in den beiden Wm^zel 



"zeni 



X erwiesen ist. Die dritten EntAAdckelungsglicdcr unterscheiden sich in einem solchen Falle 

 nur durch das Zeichen von einander. Da daim gleichfalls die Trennung der Wurzeln erfolgt 

 ist;, so erscheint eine Aveitcre EntAvickelung für den hier beabsichtigten ZavccIv unnütz. Bis- 

 weilen ist aber die Anordnung der Coefficienten der quadratischen Gleichung eine andere, und 

 es erscheinen in ihren Coefficienten die Factoren a*^, a^, a'^, woraus der Wertli: 



e 



2 



hervorgeht. Dann ist aber eine gewisse Relationsgleichung erfüllt und tritt wieder die Form 



X 



^0 + ^1^ + K^^ 



I 



in Giltigkeit. In der Regel gCAvinnt man zwei verschiedene Werthe von h^, Avomit dann die 

 Trennung der AVurzeln bewerkstelligt und der BcAveis geliefert ist, dass keine solche Irrational- 



' * 



grosse 



V 



a 



Wurzeln 



Bisweilen aber stimmen die beiden "Wur 



zeln auch in diesem dritten Entwickelungsgliede überein. Es ist dann dies als BcAveis anzu- 

 sehen, dass die Entwickelung noch nicht Aveit genug geführt ist, um zu entscheiden, ob eine 



Irrationalgrösse Va — a Avirklich vorhanden ist oder nicht. Man wird in derselben Weise, 

 Avie bisher^ vorgehen und Glied für Glied entAvickeln, so lange, bis die Trennung der Wurzeln 



?Tr- 



