Aufl'ösiingsmetliodefllr algebraisclie Buclistabengleiclmngen etc. 



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crfob't. Sobald diese eintritt, liegt die Irrationalgrösse am Tage; wo niclitj so ist ihre Nicht- 



existenz ausser Zweifel gestellt. 



Wenn der Leser glciclilaufend mit der liier eingeleiteten Untersuchung, jene andere auf 

 die Mac-Laurin sehe Formel gestützte EntwickelungsweisCj wie sie in §. 3 gezeigt w^urde, ver- 

 folgt, so wird er sich mit leichter Mühe überzeugen, dass, so lange die Entwickelungsglieder 



die Foi^m: 



li^ + /^i a + ^2 d? 



einhalten, beide ^Methoden vollkommen übereinstimmen, und dass sie erst bei dem Auftreten 



der Irrationalgrösse V a — a A^on einander differiren. Unsere Methode liefert dieses Glied 

 ohne Anstand, die Mac-Laurin'sche aber zeigt nur durch eine widersprechende Bedingungs- 

 gleichung, dass die ilir zu Grunde liegende Voraussetzung nicht mehr giltig sei. 



Wir gew^innen hieraus die Eegel, dass beim Auftreten von nur zwei gleichen AVurzebi li^ 



der (39) in 



V 



a erscheinen 



könne. Um zu unterscheiden, ob dies wirklich geschehe oder nicht, hat man die zwei Werthe x 

 aufsteigend nach der Grösse a = a — a äu entwickeln, bis die Trennung derselben 

 erfolo-t. Diese EntwickelunP* kann dann entweder vermittelst der Mac-Laurin'schen Formel 

 oder unserer Methode eingeleitet werden; für die Beantwortung dieser Frage sind beide 

 Methoden gleich gut, ja völlig congruent. Unsere Methode besitzt den einzigen Vortheil, dass 

 sie das isolirende Entwickelungsglied immer liefert, auch dann, wenn es irrational ist, während 

 die Mac-Laurin'sche Formel nur die rationalen Entwickelungsglieder gibt, und das irrationale 

 Entwickelungsglied durch einen auftauchenden Widerspruch anmeldet. 



§• 10. 



3. hl sei eine dreifaclic AYurzel der (39), also: 



^50 

 51 



A,„ h- + K-. K'-' + 



. . . + Ai^o + A 











m K K~' 



m 



1 ) A_, li 



m—2 







A, 







52) 



m (m~ 1 ) A„ h,"'-' + (m— 1 



m 



2) A,,_i h. 



m—B 



J • * « « 



2A. 







und 







m{m—r)(ni—2) KAj""^ + f^" 



1 \ (m 



9 



m 



"3)A_iÄ 



m — 4, 







\- .... -\- b A3 



von Xull verschieden. 



Die Bestimmung des Folgeglicdes h^a^' hangt 

 einer Gleichung des dritten Grades, nämlich der: 



hiei' bekanntcrmassen von der Auflösun.ür 



t> 



; 



54 



^0 a"«» -f |)o' a^"' X, -f 4 f)o" a««" x,^ + I SX' a'^v- ^^ ^ 



^ ^1 



ab. Gewöhnlich ist: 



OD 



(56 



57 



f5S 



£)o ^ 



'^21.' 



% 



[K h 



m 







A_/ h 



m — 1 1 







. . . . + A/7io + Ao'] a 



C)o'a 







:>i)o ^ 



%" 



[^^ \n K 



m — 1 



m 



1)A_/Ä„' 



m—2 



4 * 



G '^ 



"^^ 



m a: k 



[(7) KM 



m-1 



2 ) ^m-l K 



m— 3 



V^A 



m- 



j^ 



m — 4 







+ A/] a 

 • + A; ] a 



+ ■■■■+ A3] 



