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168 



Ignaz Heger. 



Die Coeffici eilten der (54) weisen daher bezüglich die Factoren 



a, a, a, a" auf und man 



gewinnt den Werth : 



(59) 



f. 



und zur Bestimmung von h 



1 



die binomische Gleichung des dritten Grades : 



(60) 



■^m "-o"^ 4" -^m—1 h 



m—1 







* « 



+ {^)KJi 



m — 3 







( 



V)A 



m 



ji 



m — 4 







A/ Äo + Ao' + 



. . . . -f- A3J Aj 







Man erhält also, wenn der Ausdruck (55) nicht Null ist, drei von einander verscliiedene 

 Werthc für \a^'^ enthalten in der Form: 



(61) 



3 





. a 



\ 



V 



wenn man diese dritte Wurzel der ßeilie nach in ihren drei verschiedenen Bedeutungen nimmt. 

 Jedes solche Glied öfehört einer einzi^ren AVurzel x und es ist somit die Trennung' der drei 



ö 



b 



3, 



Wurzeln erfolgt und gleichzeitig die Anwesenheit der Irrationalgrösse V a-^a in ihnen nach- 

 gewiesen. Dies ist auch die einzige in ihnen erscheinende Irrationalgrösse dieser Gattung, 



denn die ferneren Entwickelun^sß-lieder drehen aus Gleichuncren des ersten Grades hervor 



ö'"ö 



1 



und können daher keine neuen Wurzelgrössen beherbergen. 



Wäre jedoch der Ausdruck (55) zufälliger Weise Null, so wird: 





■^x 



^ 

 1 



(62) 



§)o*^ 



91 







[k: k 



Ä "h 



m — 1 







. . . . + A/' \ + Ao"] X 



; 



6 



während ^'^a^V, -^^^' a^^' und 



birgt in ihren Coefficientcn dann 

 für Zy^ nämlich: 



III ^M '" 







a\ ihre früheren Werthe behalten. Die Gleichung (54) 

 die Factoren: a% a, a, a^ und liefert jetzt zwei Werthe 



?. 



1 und f 



1 



1 

 2 



Die Bestimmungsgleichungen für Ti^ sind bezüglich: 



(63) 



(64) 





+ [mAjh,r' + {m~l)A^Jh 



m~2 







* « * 





m 



1 ) K-^ Ä 



w 



Ü 



4 * ■ * 



3 ; A^ h--' + (-^) A„_, Ä 



^ — 4 







' t * * # p 



A'' 



A/] Ä, 



Ae] Ä/ = 











Die erste derselben liefert einen einzigen, die zweite aber zwei von einander und von 



Null verschiedene Werthe von li^. Man findet 

 Trennung der Wurzeln ist wieder bewerkstelligt. 



dermassen drei Folgeglieder Ti^ ci^i^ und die 

 Die erste derselben besteht in der Form : 



\ ^ 



*t- 



h 







Äi a + Äo a^ 4" 



die beiden anderen aber enthalten die IrrationalöTÖsse V a 



a 



und erscheinen in folgender 



Gestalt : 

 (65) 



li^ + Ä^ af + \ a 



K^ 



h 



a 





/2'2 cl 



Hiermit ist Avieder die Untersuchung beendigt, Aveil durch die Trennung der Wurzeln das 

 Hinzutreten einer neuen Irrationalgrösse bei fortgeführter EntAvickelung unmöglich wird. 



u^J-t 



