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Ignaz Heger. 



und wir befinden uns jetzt wieder am Ausgangspunkt ähnlicher Distinctioncn, wie beim Anfangs- 

 gliedc /i„. Sind nämlich alle drei Wurzeln li, der Gleichung (75) von einander verschie- 

 den, so ist die Trennung der Wurzeln erfolgt, ohne alles Auftreten einer Irrationalgrösse, und 



es ist nunmehr ausser allem Zweifel, dass für a 



a die Stetigkeit dieser drei Wurzeln nicht 



unterbrochen ist und dass sie vermittelst der Mae-Laurin'schen Formel entwickelbar sind. 

 Finden sich aber unter den Wurzeln der Gleichmig (70) gleiche vor, so können es wieder 

 entweder doppelte oder dreifeicho sein. Sind zwei Wurzeln gleich, die dritte aber 

 verschieden, so ist, nur eine einzige Wurzel x vollkommen isolirt und folglich auch erwie- 

 senermassen von einer Irrationalgrösse von der betrachteten Gestalt frei, die beiden anderen 

 stimmen aber in den aufgesuchten zwei ersten Entwickelungsgliedern überein und können 



daher nur die Irrationalgrösse V a 



-a bergen, oder auch nicht. Man hat zur Entscheidung 



dieser Frage die Entwickclung dieser zwei Wurzeln noch weiter zu führen , so lange bis die 

 Trennung derselben erfolgt. Sind endlich alle drei Wurzeln der (75) gleich, so hat man alle 

 drei Werthe x weiter zu entwickeln und kann dann eben sowohl zur Irrationalgrösse V 



a 



a. 



in zweien dcrsclbenj oder zur anderen V a 

 beiden gelangen. 



a in allen dreien, oder endlicli zu keiner von 



Wir erachten es niclit für nötliig, dies wirklich durchzuführen: die vorherG-eranö-enen 



Untersuchungen erläutern es zur Genüge. Eben so wenig wollen wir jene anderen Fälle einer 

 eigenen Betrachtung unterwerfen, wo die Gleichung (39 



vier, fünf und allgemein r gleiche 



AVurzcln Ji^ liefert. Diese Untersuchungen würden schon um Vieles complicirtcr ausfallen, 

 im. AVesentlichen aber doch nichts IsTeues bieten. Es würde sich zeigen^ dass beim Auftreten 



von r gleichen Wurzeln h^. 



.grossen V 



a 



7 



a 



a 



Va 



a. oder auch 



keine von ihnen auftritt. Es können entweder nur eine einzige, oder auch zwei oder noch 

 mehrere derselben sich ergeben; Letzteres aber nur dann, wenn die Zahl r oder die unter ihr 

 liegenden in zwei oder mehrere Faetoren zerlegbar sind. So z. B. können bei G gleichen 



Wurzeln ^^ , die Irrationalgrössen V a 



a 



V 



a 



kommen , aber au 



1^ 



a 



a un 



V 



a^ Va 



a 



1 



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a 



a im 



V 



a 



a einzeln vor- 



a 



a beide zugleich erscheinen. Die Irrationalgrösse 



e rschein t immer in so vielen Wurzeln x, als ihr verschiedene Bedeutungen zukommen, also 



Va 



a immer in r Wurzeln. Diese Wurzeln stimmen in allen vorhergehenden Entwickelun^s- 



gliedern überein, und unterscheiden sich erst 'm dem mit der Irrationalgrösse behafteten Ent- 

 wickclungsglicde von einander. Alle diese Erscheinungen lassen sich ohne alle Schwierigkeit 

 für jede Anzahl r gleicher Wurzeln ableiten, nur sieht man sich, wenn man dies allgemein 

 thun will, in eine Unzahl von Distinctioncn verwickelt. Vergleicht man dabei den Entwicke- 

 lungsgang mit jenem, der sich auf die Mac-Laurin'sche Formel stützt, so bemerkt man die 

 vollkommenste Übereinstimmung zwischen beiden, solange in den Entwickelungsgliedern a mit 

 ganzen und positiven Exponenten verschen ist; sobald aber ein gebrochener Werth des Expo- 

 nenten auftaucht, tritt der Unterschied der beiden Methoden ans Tageslicht. Unsere Methode 

 erweist sich fortan als brauchbar, während die andere durch eine widersprechende Bedingungs- 

 gleichung zu erkennen gibt, dass der Bereich ihrer Giltigkeit überschritten sei. 



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