Auß'ösungsmetliode für algebraische Buchstalengleiclmngen etc 



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§. 11. 



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Fassen Avir nun die Ergebnisse dieser üntersucliungcn zusammen, so gelangen wir zur 

 folgenden Eegel, um die Irrationalgrössen kennen zu lernen, die in den Wurzeln einer gege- 

 benen algebraisclien Gleichung mit rationalen Coeffieienten ersclieinen. 



noeli die durcli einmaliges 



Erstens: Man füge zu der gegebenen Gleichung P 

 Differentiiren partiell nacli o^ abgeleitete andere: — = hinzu und löse dieses System von 

 zwei Gleichunii'en mit den zwei Unbekannten a und x nach a auf und notire alle so erhaltenen 



Wertlie als a. der zweiten Gattung. 



Zweitens: Man unterwerfe nun jeden dieser Wertlie a einer eigenen Untersuchung, 

 welche die Frage zu beantworten hat, oh demselben eine Irrationalgrösse in den Wurzeln x 



Man leitet desshalb die aufsteigende Entwiekelung nach Potenzen von 



a 



entspricht oder nicht. 



a ein, aber führt dieselbe nur so weit durch, bis jede Wurzel x vollkommen isolirt ist. 



Bei der Bestimmung der Aufaugsglicder erhält man unter ilmcn gleiche, und zwar bald nur 

 eine einzige Gruppe, bald aber auch mehrere. Nach der Bestimmung der Anfangsglieder 

 schreitet man zur Entwiekelung der Folgcglieder, vollführt diese aber nur bei jenen Wurzelu, 



also an jenen Anfangsgliedern, 



die durch die Anfangsglicdcr noch nicht isolirt erscheinen, 

 die zweien oder mehreren Wurzeln gemeinschaftlich zukommen , und bestimmt nur so viele 

 Folgcglieder, bis die Trennung der Wurzeln erfolgt ist. Auf diese Weise erhält man eine 

 jede Wurzel in einer Anzahl von Anfangsgliedcrn entwickelt; in so vielen, als zu ihrer 

 vollständigen Isolirung von allen übrigen hinreicht. Findet sich unter diesen Gliedern eines, 

 und zwar meistcntheils das letzte mit einem gebrochenen Exponenten von a versehen, so 

 liegt es am Tage, dass die betreffende Wurzel x eine Irrationalgrösse beherbergt, wo 

 a als Factor unter dem AYurzelz eichen erscheint. Der Nenner des gebrochenen Expo- 

 Ist hingegen unter den entwickelten 



a 



nenten ist zugleich der Index dieses Wurzelzeichens. 



Gliedern keines mit einem gebrochejien Exponenten versehen , so ist es auch ausser allem 

 Zweifel, dass diese Wurzel keine solche Irrationalgrösse mit a — a als Factor unter deniAVurzel- 

 zeichen beherbere-e. Da diese Lmtcrsuchung der Reihe nach an allen Werthen a vorgenommen 



= 



wird, die durch Auflösung des oberw'ähnten Systems von zwei Gleichungen P=== 0, — 

 erhalten wurden so o-clano-t man zu allen einfachen Factoren . aus w^clchen die Irrational- 

 OTössen in den "Wurzeln bestehen. 



Wir müssen noch einio-e wichtige Bemerkungen folgen lassen, die vsich auf specielle Fäll 



beziehen, von denen bisher keine Erwähnung geschah. 



Diese Fälle sind fob'cnde zwei: 



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1. Es kann o-eschehen, dass das System von zwei Gleichungen, das zu demW'erthe a der 

 zweiten Gattuno- führen soll, einen Werth der ersten Gattung liefert, d. h. einen solchen, der 



w 



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2. dass die zwei Gleichungen einen gemeinschaftlichen Factor aufweisen und folglich für 

 jeden beliebigen W^erth von a erfüllbar sind. Geschieht das Letztere, so ist der Beweis her- 

 gestellt, dass die gegebene Gleichung P= gleiche Wurzeln x besitzt. 



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