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Ignaz Heger. 



In dem erstcrcn dieser beiden Fälle benimmt man sich auf ganz gleiche Weise, wie sonst. 

 Da der Werth a gleichzeitig der ersten und zweiten Gattung angehört, so werden nur unter 

 den Anfangsgliedern auch solche mit negativem Werthe von ^„ erscheinen. Auf die weitere 

 Entwickelung hat dies aber keinen Einfluss, sondern man entwickelt jede Wurzel x so weit, 

 bis sie isolirt erscheint. 



Der zweite dieser beiden Fälle aber bedarf einer ganz anderen Behandlung, denn da nun 

 erwiesen ist, dass die gegebene Gleichung P = gleiche Wurzeln besitzt, so wird es niemals 

 gelingen, alle Wurzeln bis zur vollständigen Isolirung entwickeln zu können; die gleichen 

 Wurzeln werden fortan in den Entwich elungsgliedern übereinstimmen. Andererseits aber ist 

 auch die Angabe der AVerthe a der zweiten Gattung noch mangelhaft, und es können in den 

 gleichen Wurzeln Irrationalgrössen erseheinen , deren Werthe a unter den aufgesuchten nicht 

 vorfindig sind. Man kann in diesem Falle wohl verschiedene AVege einschlagen , die alle zum 



o 



Ziele führen; am einfachsten ist es aber jedenfalls, den in P und — gemeinschaftlich erschei- 



d.r. ^ 



nenden Factor auf bekannte Weise zu suchen. Derselbe kann im Allgemeinen eine Function 

 beider Buchstabcngrössen x, a sein. Setzt man ihn nun gleich Null, so liegt eine Partial- 

 gleichung vor, die jedenfalls weit einfacher ist, als die ursprünglich gegebene P=0. Durch 

 Auflösung derselben wird man gewisse Werthe von x finden, die auch die P=0 erfüllen und 

 namentlich in derselben als wiederholte Wurzeln erscheinen. Jedenfalls wird man aus dieser 

 neuen Partialgleichung mit viel geringerer Mühe alle auf diese gleichen AVurzeln x Bezug 

 habenden Fragen beantworten, also auch die in ihnen erscheinenden Irrationalgrössen ermitteln 

 können, denn in ihr erscheint jede wiederholteAVurzel der Gleichung P= um einmal minder 

 oft. Die doppelten AVurzeln der P=0 erscheinen hier als einfache und lassen sich daher 

 jedenfalls isoliren. Wiederholte AVurzeln können in ihr nur erscheinen, wenn r=0 dreifache, 

 vierfache AVurzeln u. s. w. besass , und selbst in diesem Falle kann man immer zu einer ein- 

 facheren Gleichung gelangen, welche diese wiederholten Wurzeln nur einmal besitzt, und bei 

 der demnach die Isolirung derselben und folglich auch jede auf Irrationalgrössen Bezug 



habende Untersuchung ohne Schwierigkeit ausgeführt werden kann. Der Fall, wo P 







wiederholte AVurzeln besitzt, ist überhaupt stets viel günstiger als derjenige, wo dies nicht der 

 Fall ist, denn in den meisten Fällen gelingt es, diese wiederholten AVurzeln in geschlos- 

 sener Form zu finden, und man ist dadurch alsogleich vieler mühsamen Untersuchungen 

 überhoben. 



In den bisherigen Untersuchungen wurde in der ursprünglich gegebenen Gleichung P=0 

 das Gleichungspolynom P als ganzes und rationales vorausgesetzt. Nichts desto weniger gilt 

 alles bisher Gesagte ebenfalls für die anderen Fälle, wo im Gleichungspolynomc Pr=S[IIa'x' 

 auch gebrochene oder negative Exponenten a und ^ erscheinen. Es ist zwar Sitte jede irra- 

 tionale oder gebrochene Gleichung in eine rationale und ganze zu verwandeln, allein diese 

 Transformation ist keine nothwendigc und nur in gewissen Fällen von Vortheil. Uns ist hier 

 nicht der Raum gestattet, näher darauf einzugehen. AVir wollen nur die Bemerkung machen, 

 dass bei Gleichungen, die nach x ganz und rational sind, also in der Form : 





Ä 



m 



x"^ -\- A 



m — 1 



X 



m—i 



A 



m — 2 



X 



m- 



o 



I ■ • # ~| .jCI o J^ 



A,x 4- A 











crsclieinen, bei welchen aber die Coefficienten A irrationale Elemente in sich bero-cn, dieselben 

 auch im Allgemeinen in einer oder mehreren Wurzeln vorkommen. Die genauen Angaben 



