AuflösitngsmethodefUr algebraische Buclistabengleiclitingen etc. 



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über das Erscheinen dieser Irrationalgrösscn liefert aucli hier die genügend weit fortgesetzte 

 aufsteio^ende Entwickclunir der Wurzel x nach Potenzen einer schicklich P:ewählten Grösse 



a 



a\ hier aber reicht es nicht hin, die Entwickelung nur bis zur Isolirung der einzelnen 

 Wurzeln fortzusetzen, weil diese in den Coefficienten der Gleichung erscheinenden Irrational- 

 grösscn gelegentlich nur einer einzigen AVurzel x zukommen und erst in den späteren Ent- 

 Wickelungsgliedern auftreten können. Man ist desshalb verhalten, entweder sich in einer 

 anderen Weise die Überzeuo-uni}' zu verschaffen, dass die beliebig weit fortgesetzte EntAvicke- 



lung kein neues irrationales Element mehr bringen könne oder aber zur entsprechenden Glei- 

 chung überzugehen, bei der die irrationalen Elemente immer in einer Gruppe von Wurzeln x 

 gleichzeitig erscheinen und an ihr die Entwickelung bis zur vollständigen Isolirung der Wur- 

 zeln vorzunehmen. 



Das Aufsuchen der irrationalen Elemente in den Wurzeln x hat im Grunde nur eine 

 untergeordnete Bedeutung, da sie nicht wie die absteigende Entwickelung und die Bestimmung 

 der Nenner über eine Haupteigenschaft der Genüge leistenden Functionen Aufschluss ertheilt. 

 Diese beiden letztgenannten Untersuchungen führen nämlich zu allen Asymptoten der Curve, 

 deren Gleichung P=:0 ist und gerade die Kenntniss der Curven in ihrem unendlichen Ver- 

 laufe ist für den mathematischen Forscher meistentheils die wichtigere. Die Bestimmung der 

 in den Wurzeln erscheinenden irrationalen Elemente hat aber einen anderen Nutzen; sie macht 

 es nämlich gar nicht selten möglich, die Wurzeln einer Gleichung höheren Grades in ge- 

 schlossener Form zu finden, indem sie die nöthigen Andeutungen gibt, ob eine solche 

 erwartet werden, und den Weg bezeichnet, auf dem man zu derselben gelangen könne. Die 

 nachfolgenden Beisiaiele werden über diesen Punkt einige Aufklärung geben. In unserer 

 Absicht liegt es aber keineswegs diesen CxCgenstand vollständig zu erschöpfen. Die Entscheidung 

 der Frage, ob geschlossene Formen der Genüge leistenden Functionen bei einer vorgelegten 

 Buchstabeno-leichunP- wirklich vorhanden seien und wie mau die wirklich bestehenden durch 

 ein geregeltes analytisches Verfahren und ohne Probiren gewinnen könne, bildet vielmehr eni 

 Problem, das bisher, so zu sagen, noch nicht im Entferntesten seiner Lösung entgegen sieht. 

 Die hier freo-ebenen Andeutun<ren ^reiten nur für die einfachsten Fälle. 



to^'ö 



ö 



b 



. 13. 



AYir wollen nun hier einige Beispiele zur Erläuterung folgen lassen. 



Erstes Beispiel: 



x 



2a'x^ 



+ [ 



a 



a 



l]x\+[4:a' + a^-o]x' + [ 



2 a 



2 a' + 10 d 



2a 



2]x + 



+ [«•' 



5 a' 



a' + G a 



5] 



0, 



fügen wir zu dieser gegebenen Buchstabengleichung ihre Derivirte hinzu: 



5x 



8a^a;=' + 3[ 



a 



a 





1 , X 



l]x- + 2[4a^ + a— 5].r+[— 2 a* — 2a=+10a' + 2a — 2] 

 = 1 beide Gleichuno-en ffleichzeitie: erfüllt. Der Werth a -. 



:0, 



1 ist 



so findet man für a = 



daher vielleicht ein unstetig machender Werth der zweiten Gattung. Wir wollen ihn in Bezug 



