174 



Ignaz Heger, 



dieser Eigenschaft genauer untersuchen. Es ist zu diesem 

 entwickelung von x^ geordnet nach Potenzen der Grösse a~ 

 iWa gegebene Gleichung vermittelst der Substitution ai=a 



Zwecke die aufsteigende Eeihen- 



1 



a einzuleiten und desshalb 



1 zu transformiren in die: 





X 



9 



4 a 



+ [+6+ 8a 



2 a^] x' + [— 1 + 3 a + 6 a^ + 4 a^* + a '] x"' 



[9 



a + , 4 a^' x' -j- 



8 a 



10a 



?, 



2 a*] X 



4 



IIa— 21a 



1 a 





a 



b 







bei welcher die aufsteigende EntAvickelung von x alsogleicli eingeleitet werden kann. Man 

 findet hier für fo einen einzigen AVerth : ?o = und für l^ die Bestimmungsgleichung: 



li 



5 



2Ä^ — A^ 



6Ä 



4 



0. 



Ihre Wurzeln sind die drei einfachen: lizz:=^'i^ h 



1 + 1/— 1,Ä 



1 



I 



Ji 



1. Dieser letzteren entspricht das Anfangsglied x 



1 und die doppelte: 



1 



irehöriir zu zwei Entwickelungs- 



reihen von x und diese sind weiter zu entwickeln. Man findet zmn Anfano-s^^iiedc^; 



verschiedene Folgegliedcr h^a^'^ nämlich: 



ö'^-'ö 







1 zwei 



x 



1 -|- al- und x 



] 



1 



ai. 



Mit der Jkstimmung der Folgegliedcr tritt also die Trennung auch dieser beiden AVurzeln x 



V 



Eie EntWickelung braucht man nicht weiter fortzusetzen, denn die Isolirung der Wurzeln 

 ist erfolgt und somit dargethan, dass auch in allen späteren Eolgegliedern nur die Irrational- 

 grösse V a erscheinen könne. Hier aber gelangt man bei fortgesetzter Entwickelung zu den 

 geschlossenen Ausdrücken : 



X 



1 + ai 



2a 



a 



Zweitos B cispiel: 



x' + (3 a 



?>)x^^ 



o '' 



o a 



^t M 



6 a 



])x + a^_3a' + 2a+ 1 



0. 



Zur Ermittelung der Wei-the a der zweiten Gattung hat man die derivirte Gleiclnmg 



hinzuzufügen : 



3 x' + (6 a— 6) x' + 3 d'^Q a=0 



Diese beiden Gleichungen sind gleichzeitig erfüllt für 

 Auflösung besteht keine andere mehr. 



Man hat nun die aufsteigend nacli Potenzen von a = 

 einzuleiten, und zwar bei der durch die Substitution a- 



a 



2 , X 



1. Ausser dieser 



a 



a 



2 geordnete Eeihenentwickelung 

 2 abgeleiteten Gleichung : 



X 



8 



3 



3a)x^ + (3 + 6a 



3a 



O 



X 



(1 + 2a+ 3a'' + a'^) 







Leitet man dieselbe wirklich ein, so findet man ein einziges Anfanß'Sglied : x 

 drei Wurzeln, hiezu aber drei verschiedene Fok-cs-lieder: 



ö^ö 



b"'ö 



1 für alle 



X 



X- 



X 



1 + ai 



V 



V 



3]a; 



i 



3] 



aä 



somit erscheint die Irrationalgrösse Va 



V 



a 



2 in allen drei Wurzeln. 



