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Ignaz lieg er. 



Bestimmung des Ergänzungsgliedes für die unendlichen Reihen und Beurtheilung ihrer 

 Convergenz. Anwendbarkeit der auseinandergesetzten Auflösungsmethoden im Gebiete 

 der analytischen Geometrie insbesondere zur Bestimmung der Asymptoten für Curven 



von einfacher Krümmung. 



EINLEITUNG. 



Die im Vorlierofcli enden 



ö 



auseinandergesetzten Auflösungsmetlioden gründen 



sich 



im 



Wesentlichen auf Reihencntwickelungen und liefern die AVurzeln der Buchstaben^-leichunir 

 meistentheils nicht in geschlossener Form, sondern nur in einer gewissen Ann'äherung. In der 

 Eegel nämlich lässt sich das zur Bestimmung der Folgeglieder dienende Ecclmungsverfahren 

 ins Unendliche fortsetzen, weil das durch Substitution der p^ewonnenen Entwickelumrsdieder 



&^-ö 



in das Gleichungspolynom hervorgehende Substitutionsresultat gewöhnlicli von Null verschie- 

 den bleibt. Die erwähnten Auflösungsmethoden sind daher streng genommen kehie solchen, 

 weil sie für die Unbekannte x Wcrthc liefern, die im Allgemeinen das Gleichungspolynom 

 nicht auf Null bringen, und erscheinen bisher nur für jene Fälle gerechtfertigt, in denen die 

 Eeihencntwickelung sich von selbst schliesst. In allen übrigen Fällen aber, in welchen die 

 Eeihenentwickelung sich ins Unendliche fortsetzen lässt, ist erst die Frage zu beantworten, ob 

 und unter welchen Bedingungen man bei fortgesetzter Entwickeluna% d. h. durch das Hinzu- 



fügen neuer Folgeglieder, sich dem wahren Wurzelwerthe von 2: fortwährend nähert oder 



davon entfernt. 



Nur auf solche Weise können die gelehrten Eeihenentwickelungen ihre volle 



Eechtfertigung erlangen und ein Missbrauch derselben vermieden werden, und es geht hieraus 

 die Nothwendigkcit einer weiteren Untersuchung hervor, welche zu bcstiimncn hat, ob der 

 durch Abbrechen der Eeihenentwickelung gewonnene Ausdruck, wenn auch niclit als exacter, 



so doch als ein angenäherter Werth von x angesehen werden könne. 



Diese Untersuchunir 



wird aber noch mehr leisten, denn sie wird die richtige und vortheilhaftcste GebrauchsAveise 

 der verschiedenen Entwickelungsarten angeben. Die Auflösung einer Buchstabengleichung 

 F{x^ a) ^ kann stets durch das Verzeichnen einer Curve von einfacher Krümmung versinn- 

 licht werden. Die hier besprochenen Auflösungsmetlioden bezwecken aber meistentheils nicht 

 die vollkommen genaue Verzeichnung dieser Cmwe, sondern begnügen sich, ein hinlänglich 

 angenähertes Bild derselben zu entwerfen, indem sie die complicirte Curve stückweise aus 

 einfachen Linien zusammensetzt. Damit aber diese, aus ganz differenten Linienstücken 

 zusammengesetzte Zeichnung, wenn gleich kein vollkommen genaues, so doch ein hinlänglich 

 angenähertes Bild der wirklichen Curve gebe, ist eine zweckmässige Anordnung und vortheil- 

 hafte Abtheilung der Curve in Stücke erforderlich. Dies ist der ZavccL der nachfolgenden 

 Untersuchungen. 



Die Aufgabe, die wir uns stellen, ist eine doppelte: erstens, wenn man durch die ein- 

 geleitete und bei einem beliebigen Gliede abgebrochene Eeihenentwickelung siel 

 Bestandthcil x;, bestehend aus r -^ 1 Anfangsgliedern verschafft hat, so soll für den Fehler, 



1 einen 



den man begehen würde, wenn man diesen Ausdruck als einen Werth von x annähme, ein 



^-A., 



