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AuflosuJig-siJicthoJefnr ahjL'hnu.'iclLe Biicltütahßngleicliungen etc. 



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?iweck genau dasselbe leisten, 



zu angenäherten Wertlien füliren, aber für den beabsichtigten 

 wie vollkommen geschlossene Ausdrücke. 



Schon früher und zu wiederholten Malen wurde die Bemerkung gemacht, dass die 

 bekannten Regeln zur algebraisclicn Division und zum Wui^zclausziclien nur specielle Anwen- 

 dungen seien der hier erörterten allgemeinen Auflösungsniethode, angewendet auf binomische 

 Gleichungen des ersten und liohcrcn Grades. Diese beiden einfachen Eechnungsoperationen 

 führen nur in speciellen Fällen zu geschlossenen Ausdrücken, meistentheils aber lassen sie sich 

 ins Unendliche fortsetzen. Bricht man nun die Rechnung irgendwo ab, so ist das gewonnene 

 Resultat (Quotient oder AVnrzel) fehlerliaft. Um denselben fehlerfrei zu erhalten, muss man 

 noch ein Ergäuzungsglied hinzufügen. Bei der Division von Polynomen liat man nämlich zum 

 unvollständigen Quotienten noch einen Bruch hizuzufügcn, dessen Zähler der letzte Partialrcst 

 und dessen Nenner der Divisor ist. Dieser aus dem letzten Reste und dem Divisor gebildete 

 Brach gibt den bestehenden Fehler ganz genau an, und zwar für jeden beliebigen Werth der 

 darin erscheinenden Buclastabena'rösse. 



Man kann aber auch die Frage sich vorlegen, ob \\m\ für welciicWcrthe der unabhängigen 

 Buchstabengrösse die unendliche Reihe, welche bei fortgesetzter Division hervoi^geht und die 

 bekanntlich eine recurrircnde genannt wird, convcrgent sei, und auch diese Frage lässt sich 

 mit Leichtigkeit beantworten. 



Diese zwei Fragen nun, welche in bekannter Weise schon bei der algebraischen Division 

 und beim AYurzelzielien beantwortet sind, sollen nun auch für den allgemeinen Fall, nämlich 

 bei der Auflösung einer Buchstabcnglcicliung höheren Grades, ihre Erledigung finden, 

 ist aber der Zweck der nachfola'cnden Untersuchunö'en. 



Dies 



Die Ergebnisse dieser allgemeinen 

 Untersuchungen werden, wie sich dies von selbst versteht, für den einfachen Fall einer bino- 

 mischen Gleichung des ersten oder eines höheren Grades, mit den bereits bekannten, für die 

 algebraische Division von Polynomen und das Wurzelziehen geltenden vollkommen überein- 

 stimmen. 



I X 



Bevor wir jedoch zur wirklichen Beantwortung dieser beiden Fragen schreiten, ist es 

 unerlässlich, sich von ihrer Bedeutung eine vollkommen klare und deutliche Vorstellung zu 

 verschaffen, weil nur auf solche Weise ihre Beantwortung möglich wird. Die erste derselben 

 erheischt die Vergleichung des gefundenen Bestandtheiles r^, der ehi vollkommen bestimmter 

 und bekannter Ausdruck ist, mit dem exacten Wurzclwerthe <p 



von X. der selber noch 



unbekannt und nur durch die Gleichung bestimmt ist, und es soll bei dieser Vergleichung 



entschieden werden, ob die Relation :r,. > (p {a) oder die entgegengesetzte x^, 



— X,. erlangen könne. Da die beiden in 



und welchen numerischen Werth der Fehler <p {et) 

 Vergleich zu bringenden Grössen x^,^ 



w (a) besteht 



<p (a) Functionen von a und keine bestimmten Zalden 

 sind, so kann offenbar die Entscheidung nicht für beliebige, sondern nur für bestimmte und 

 snecielle Werthe von a bewerkstelliöft werden, denn eine iede der drei Relationen: 



X. 



<p[a 



1 



X. 



(p{a) , x,><p{a) 



kann gelegentlich, d. h. für gewisse Werthe voji a erfüllt sein. Man hätte demnach eigentlich 

 für alle möglichen Werthe von a, also für das ganze unendliche Intervall von — oo bis + oo 

 diese Vergleichung von x.^ mit <p (a) durchzufüliren und für jede der drei angefülirten 

 Relationen die zugehörigen AVerthe von a aufzuzäiilen. Diese Verglciclumg der beiden 

 Functionen 2:,., <p (a) würde nicht einmal hinreichen, weil bekanntlicli unter den Wurzeln einer 



I)cjikrirJirii'LcJj d<ji' iiuUln'ni.-iKiturw. Gl. XIII. IUI- Aljliaudl. v. Xiclitiiiitgl. 



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