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Ignaz Heger. 



algebraisclien Gleicliung auch imaginäre erscheinen können, so zwar, dass also gelegentlicla 

 x^ und (p (a) für gewisse Intervalle von a imaginäre Zalilwertlie erlangen können, denn dann 



haben die Eelationen x 



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a), X 



V 



(f (a), die sich nur auf reelle Zahlen erstrecken, keinen 

 Sinn, mehr; ja die vollständige Beantwortung dieser Frage würde sogar fordern, nicht blos die 

 reellen, sondern auch die imaginären Werthc von a zu erschöpfen. 



Zudem ist es nicht genügend, <f{a) als irgend eine beliebige AVurzel der Gleichung P — O 

 anzusehen, sondern man ist genöthigt, eine bestimmte Wurzel darunter zu verstehen. Dies 

 ist in den oberwähnten Fragen auch, wie wohl nur stillschweigend, niedergelegt und nament- 

 lich unter (p (a) daselbst jene Wurzel der Gleichung verstanden, deren Entwickelung eben mit 

 der Gliedersummc x, beginnt. Da nun meistentheils diese Gliedersumme einer einzigen 

 AVurzel eigen ist, so hat auch die gestellte Frage eine vollkommen bestimmte Bedeutung. 

 Trotzdem aber, dass unter diesen Umständen die gestellte Frage eine vollkommen bestimmte 

 ist würde es dennoch schwer halten, diese bestimmte AVurzel cp (a) für alle möglichen AVerthe 



festzuhalten und von den übrigen zu unterscheiden. Diese Unterscheidung ist zwar 

 immer möglich, aber nicht immer auf eine leichte Art. Glücklicherweise benöthigt man aber 

 die vollständige Erledigung der gestellten Fragen nicht. Eelhenentwickelungen erweisen sich 

 nämlich nur so lange vortheilhaft , als sie einen bedeutenden Grad von Convergcnz besitzen, 

 so zwar, dass man mit einer verhältnissmässig geringen Anzahl von Anfangsg-liedern dem 

 wahren Wurzelwerthe hinreichend nahe kommt. Die ab st e* - - ^ 



nur für numerisch g r o s s e AVerthe von a mit Vortheil benützt, die aufsteigend nachPotenzen 



a fortschreitende, aber für die nahe an Null liegenden AVerthe von a einen 



die Beantwortung der obigen 



von a 



von a 



a 



genügen , 



bequemen Verbrauch verstatten. Es wird daher 

 Fragen nur für solche, einen praktischen Nutzen versprechenden AVerthe von a vorzunehmen 

 und*^alle übrigen Bereiche von a ausser Acht zu lassen. In all' diesen Fällen geschielit aber 

 das Hervorheben der bestimmten AVurzel cp {a) leicht und sicher. 



I. Bcstimmun £>• des Erffäuzuncrsgliedes. 



§■ 1- 



Wir sclirciten nun zur Beantwortung der ersten de 



beiden aufgestellten Fragen, nämlich 



zur Bestimmung der Feldergrenze oder des Ergänzungsgliedcs A, welches über die mögliche 

 Grösse der Summe aller nicht entwickelten, auf die Gliedersumme x, folgenden Glieder, also 



b' 



nachfolo-enden Untersuchungen auf den einfachsten Fall zu beschränken, wo die in Betrach- 

 tung zu ziehenden Grössen x,., x, a reelle AVerthe besitzen, alle anderen hingegen unbe- 

 rücksichtigt zu lassen. Es genügt auch eine einfache Überlegung, dass die hier nicht 

 berücksichtigten Fälle eigentlich zu einem complicirteren Probleme gehören, nämlich zur 

 Auflösung Snes Systemes von Gleichungen, denn sobald eine oder mehrere der Grössen 

 X X, a Imaginär sind, lässt sich jede derselben in zwei Theile trennen, in den reellen und in 

 dcnmit|/"=1'multiplicirten imd auch die Gleichung P=0 zerfällt dann in zwei, die beide 

 o-leichzeitio- erfüllt werden müssen und dies ist auch der Grmid, wesshalb sie hier füglich nicht 



erledigt werden können. 



