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uf Losung smetl lüde fllr alcjehraisclie Buclistabengleicliungen etc. , 



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Eine zweite Voraussetzung, zu der wir durcli die Natur der Aufgabe genöthigt sind, ist, dass 

 x^ eine isolirende Gliedersumme^ d.h. einer einzigen Wurzel x eigen sei. Im Vorhero^elien- 

 den wurde schon zu wiederholten Malen erwähnt, dass man stets von dieser Voraussetzun£>' 

 ausgehen könne, weil man durch liinlänglich weit fortgesetzte EntAvickelung fast immer dahi 

 gelangt, oder, falls gleiche Wurzeln x in der ursprünglichen Gleichung 7^=0 erscheinen, deren 

 Trennung niemals erfolgen könnte, durch Sonderung eines gemeinschaftlichen Factors aus P 

 xmd 



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eine andere und einfachere Gleichung sich bilden lässt, welche eben diese wiederholten 



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Wurzeln der P= aber nunmehr als unwicderholte besitzt. Diese zweite Voraussetzung ist au 

 dem Grunde unerlässlich, weil sonst, wie in der Einleitung bemerkt wurde, die gestellte Frao-c 

 keine Bestimmtheit hätte. Wollte man früher, bevor noch die vollständige Trennung der Wurzel 

 erfolgt ist, zur Bestimmung des Ergänzungsgliedes schreiten, so wäre A eine Grösse von der Art 

 dass zwischen x^ und 2;^+^ ^^^ diese Wurzeln liegen, denen die Gliedersumme x^ gemeinschaft- 

 lich zukommt. Dann wäre wohl die Bestimnnmg des Ergänzuni^sö'liedes a^leichfalls ein bestimm- 



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Die gemachte Voraussetzung, 



tes Problem, das wir aber hier seiner geringeren praktischen Wichtigkeit wegen übergehen. 



dass x^ eine isolirende Gliedersummc sei, bringt aber 

 noch den anderen wichtigen Vortlieil, dass man dadurch die Überzeugung erlangt, ob die 

 der Entwickelung unterworfene Wurzel x auch in den späteren Folgegliedern reell ist oder 

 nicht, weil nach dem im vorhergehenden Abschnitte Erwiesenen bei rationalen Gleichungen 

 von dem Momente der vollständigen Isolirung an keine neuen irrationalen Elemente mehr 

 in den Folgegliedern auftauchen können, die nicht schon in der isolirenden Gliedersumme 

 bemerkbar wären. Daraus dass die isolirende Gliedersumme und demnach die ganze Entwicke- 

 lung dieser Wurzel x von jedem irrationalen Elemente frei und daher für beliebige reelle AVerthe 



der unabhängigen Buchstabengrösse a stets reell ist, folgt nun wohl freilich noch nicht, dass x 

 dieselbe Eigenscliaft besitzen müsse; es ist vielmehr sehr leicht, an einem Beispiele sich vom 



Gegentheile zu überzeugen. Die Function l'^a 



1 , absteigend entwickelt, zeigt keine Spur eines 



irrationalen Elementes und dennoch nimmt sie für alle zwischen — 1 und -|- 1 liegenden reellen 

 AVerthe von a imaginäre AVerthe an; allein für eben diesen Bereich wird auch die absteigende 

 Entwickelung divergirend. Die isolirende Glieclersumme gibt aber Aufschluss über das Reell- 

 oder Imaginärsein von x im Bereiche der Convergenz der Entwickelung. Es ist hieraus ersicht- 

 lich, dass die zweite gemachte Voraussetzung schon durch die erste gefordert wird. 



Bevor wir die Bcstimmuno^ des Ergänzungsgliedcs selber zum Gei>enstande der Unter 



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suchung machen, ist es unerlässlich die Bedingungen präcis aufzustellen, die erfüllt werden 

 sollen. AA'^enn man die Entwickelung einer Wurzel a::=^(a) in ihren r -{- 1 Anfangsglicdern 

 vollführt hat, ohne dass das entsprechende Substitutionsresultat ^,, identisch verschwindet, so 

 lässt sich der exacte AA^orth derselben wohl durch x,. -f x' vorstellen, wo x' eine noch unbekannte 

 Function von a ist, welche zugleich den Fehler angibt, den man begeht, wenn man die Glieder- 

 summe x^, als einen Genüge leistenden AA^erth von x ansehen wollte. Allein den genauen Aus- 

 druck für X zu finden, gelingt nur selten, nur ausnahmsweise, mid man begegnet dabei 



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.-ewöhnlich denselben unübersteiglichen Hindernissen, wie bei der ursprünglichen Bestimnmng 

 von X, Hier genügt es, anstatt des wirklichen Fehlers x' einen anderen Ausdruck A zu finden, 

 der in geschlossener Form besteht, dasselbe Vorzeichen, wie x' ^ und einen nume- 



risch grösseren Werth besitzt. Gelingt es wirklich, einen solchen Ausdruck A zu finden, so 



wird der exacte AVurzehverth rr, -^ x' jedenfalls zwischen x^ und 2;^ 



Fehle 



A fallen und der bestehende 



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zwisclien und A liegen. Für jenen Eechner, der sich mit einem hinlänglich 



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