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Ignaz Heger. 



angenäherten Wertlio von x begnügt, sobald ibm nur die Grösse des Fclilers zur Einsicht vor- 

 liegt, wird, sobald mir A genügend klein ausfällt, die Gliedersummc x^ vollkommen ausreichen. 



Da 0^, X,,, x', A hier Functionen von a und keine bestimmten Zahlen sind, so können die 

 obiö-en Bedin2"uno;en nicht für alle möö:lichen Werthe von a, sondern nur für einen beschränkten 

 Bereich gelten und folglich auch nur für diesen Bereich von a die AVcrthe x^, und a:^,. -[-A den 



exacten x 



W 



man sich unter A irgend eine ganz nach Belieben erwählte Function von a denken und nun dem 

 Buchstaben a in x,. und x^ + A einen bestimmten, nach Willkür erwählten Zaldwerth ertheilen, 



so dass sich diese beiden Grössen in Zahlen verwandeln, so könnten mehrere verschiedene 

 Fälle stattfinden. Es könnte nämlich ZAvischcn x^ und x^ + A entweder gar keine, oder eine 



3, oder mehrere Wurzeln x der Gleichung P=0 liegen, die sich für diesen bestimmten 

 Zahlwerth von a in eine numerische Gleichung verwandelt. Liegt gar keine AVurzel dazwischen, 

 so ist entweder die erAvählte Function A nicht als Ergänzungsglied brauchbar, oder der betrach- 

 tete Werth von a liegt ausser dem Bereiche ihrer Giltigkeit. Aber selbst dann, wenn eine einz 

 Wurzel dazwischen fällt, ist es noch keineswegs eine nothwendige Folge, das die getroffene 

 Wahl von A eine brauchbare sei und der betrachtete AVerth von a dem Bereiche ihrer Giltigkeit 



ang 



re, denn dieser eine AVurzelwertli kann ebensowohl der mit (p (a) bezeichneten AVurzel, 



der eben die Gliedersumme x^ eigen ist, als irgend einer der übrigen entsprechen, deren 

 Anfangsglicder der Entwickelung von x^, verschieden sind, und nur Avenn der erste dieser beiden 

 Fälle stattfindet, ist die getroffene Wahl von A zAveckentsprechend, und der angenommene 



Werth von a im Bereiche ihrer Giltigkeit; im zweiten lalle würde die Grösse A sich auf eine 

 fremde Wurzel beziehen und die ganz werthlose Angabe der Differenz zwischen ihr und der 

 Gliedersumme x^ machen. Eben aus demselben Grunde ist auch dann, Avenn eine Gruppe von 

 mehreren Wurzeln zAvischen x^. und x; -f A fällt, dem ZAvecke nicht entsprochen; selbst dann 

 nicht, Avenn sich unter dieser Gruppe die Wurzel ^ (a) befände, abgesehen davon, dass eine 

 solche Entscheidung in diesem Falle mit einigen SchAvierigkeifccn verknüpft Aväre. 



Aus air dem Gesagten ist einleuchtend, dass es sich bei der Bestimmung des Ergänzungs- 

 o^liedes nicht blos um das Auffinden einer Function A, sondern auch um die Ermittelung des 

 IntcrA^allcs für a handelt, für Avclches sie ihre Giltigkeit besitzt, und dabei liat man Bedin- 

 rmngen zu erfüllen, Avelche besagen, dass für alle im fraglichen Intervalle liegen- 

 den Werthe von a zAvischen den beiden Grenzen x^ und x^ + ^ stets eine einzige 

 reelle Wurzel x und zAvar eben die ^ (a) falle, der die Gliedersumme xv eigen ist. 



Man kann sich dies durch ein geometrisches Bild versinnlichen, indem man x und a als 

 Ortho o-onale Coordinatcn eines Punktes auf einer Ebene, namentlich a als Abscisse, x als Ordi- 



und auch den beiden andern: a: = x,. 



nate betrachtet Der gegebenen Gleichung F{x^a) 



r-} 



X 



x^J^ A entspricht je eine bestimmte Curve. Alle diese drei Curvcn sind von einander ver- 



schieden. Die erste derselben, die der Gleichung F{x^a 



angehört, ist (in eniem gCAvissen 



Sinne) aus mehreren verschiedenen Ästen zusammengesetzt, von Avelchem der eine, dem die 



analytisch ausgedrückt sein mag. Die drei 



Gliedersumme x,. entspricht, durch x=:f){a 



Curven x 



^(a) 



? 



X 



x^, , 



X 



x,.-f A, gleichzeitig auf einer und derselben Ebene ver- 



zeichnet, werden sich mannigfach durchschneiden, so zwar, dass die x=c (a) bald zwischen 



den beiden andern x:=x 



r •} 



X 



X,. + A, bald ausserhalb derselben zu liegen kommen wird. 



Yerzeichnct man aber nicht blos den einzigen Ast x 



welche durch die Gleichung F[x/:t 



= (p{ci) sondern den Complex aller Aste, 

 gegeben sind, so Avird die Verschlingung der drei 



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