Außosung^metkodefUr algebraische Buclistabenglelcliungen etc. 



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Curven nocli complicirtcr ersclieinen und nun bald der eine, bald ain anderer ^ bald keiner, 



bald nur ein einziger , bald nicbrerc verschiedene Aste zwisclien x 



x^ und X 



^.+ A 



fallen. Um nun zu entscheiden, ob in einem gewissen Bereiche der Ast a:; =^(a) zwischen oder 

 ausserhalb dieser beiden Grenzlinien liegt, muss man denselben sorgfältig verfolgen und 

 namentlich an den Durehkreuzungsstellen mehrerer Aste seine richtige Fortsetzung aufsuchen 

 und dermassen fortschreiten, bis man an jene Stelle gelangt, an der seine Lage angegeben 



werden soll. 



Das, was hier in der geometrischen Figur geschehen, hat man auch bei dem analytischen 

 Vorgehen zu thun. Der Curvenast x = <p{^f) lässt sich bei der complctcn Curve, ähnlich wie bei 

 einem verwickelten Knäul nur an einem Ende oder an einer Schlinge, kurz nun für einen 

 sp eci eilen "Werth von a erkennen, und von dieser einen Stelle aus muss man ihn weiter verfolgen. 

 Dabei stösst man aber auf mancherlei Sclnvierigkeiten und so lange eben nur eine einzige Ent- 

 wickelungsweise der Wurzel x ^=-(p{(() i^^i^d selbst diese nur in einer beschränkten Anzahl von 

 Gliedern, gegeben durch die Gliedersumme x^, vorliegt, ist es in der Regel unmöglich, weiter, 

 als bis zu einer bestimmten Grenze vorzudringen. Bei der ersten Verschlingung, der man 

 begegnet, stellt sich das Hindcrniss dar. 



Anfangs nämlich findet sich zwischen den beiden Grenzlinien der Ast x=: j^(«) und zwar 

 nur dieser allein vor. Im Aveiteren Fortschreiten auf den beiden Grenzlinien kann nun der 

 dazwischen gelegene Ast plötzlich hinaustreten oder ein oder mehrere andere Aste hinein- 

 treten. Tritt der Ast aus dem Zwischenräume zwischen x^ und x, + A hinaus , so befindet sich 



nun gar kein Ast der Curve F(x^a) 



mehr dazwischen und dies wird sich nur in der Weise 



zutragen können, dass der hinaustretende Ast x — ^{a) eine der beiden Grenzlinien x = x._ 



od 



er x 



•Ay„ 



A schneidet, was sich an dem betreuenden Substitutionsresultate F\ 



x,^a 



oder 



F(x^+^a) dadurch analytisch zu erkennen gibt, dass für eben diesen AVerth von a, für 

 welchen das Hinaustreten stattfindet, eine dieser beiden Functionen von a verschwindet und 

 dabei das Zeichen wechselt. In einer anderen, als der angedeuteten Weise ist ein Verschwinden 

 des Astes x = ^(a) aus dem Intervalle zwischen den beiden Grenzlinien nicht möglich, wenn 



die Gleichuno- wie hier vorauso^esetzt, nach x und a rational ist, weil das Imaginärwerden der 

 Wurzel (p{a)j welches gleichfalls ein Verschwinden des Curvcnastes zur Folge haben könnte, 

 nur dann erfolgen kann, Avcnn mit ihr zugleich eine andere Wurzel imaginär wird, nachdem 

 sich beide im letzten Momente des RecUseins vereinigt liaben. Eine solche Vereinigung aber 

 setzt voraus, dass wenigstens im letzten Momente des Eecllscins von ^ (a) mehr als eine einzige 

 reelle AVurzel der Gleichung zwischen den beiden Grenzen x^. und x^ + A befindet, wofür ein 

 ganz untrügliches Zeichen der Aualysis besteht. 



Treten aber neue Aste zu dem früheren x = ^[a) hinzu, Avobeigcjiau dieselben Umstände 

 wie beim Austritte von Ästen obwalten, so gibt es kein Mittel mehr, durch das blosse Verfolgen 

 von Grenzlinien und aus der Anzahl der dazwischen fallenden Aste anzugeben, ob der Ast 



* fe 



X 



(p\a 



noc 



:]i reell ist oder nicht, so lange man nicht die Sonderung der verschiedenen Aste 



bewerkstelligt oder zu anderen Hilfsmitteln greift, und es hört demnach auch die Möglichkeit 



auf, den Ast x^<p 



a) weiter zu verfolgen, o 



der wohl gar an einer späteren Stelle, wo wieder 



nur ein einzio^er Curvenast zwischen den beiden Grenzlinien liegt, zu entscheiden, 



ob dies 



eben der x 



9 



a 



oder eil anderer sei. 



Das Gesagte dürfte wohl einiges Licht werfen auf die Natur des vorliegenden Problemes. 



