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Ignaz Heger. 



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§• 2. 



Aus dem Vorhergehenden gelit klar hervorj dass die Bestimmung- des Ergänzungsgiiedes 

 füglich in zwei getrennte Untersuchungen zerfällt werden könne. Der erste Theil dieser Unter- 

 suchungen hat nur zum Zwecke, für einen ganz specicUen Werth von a, der sich eben hiczu 



A Yon allen übrigen 



eignet j die eine Wurzel (p (a) durch die beiden Grenzwertho x^ und x^. 

 zu isoliren; der zweite hingegen hat Yorzüglich die Ermittelung- des giltigen Intervalles von 

 a zur Aufgabe, welches alle jene Werthe von a in sich schliesst, für welche ZAvisclien den 

 beiden G-renzen x^ und a:^ + A die Wurzel (p{a) einzig und allein fällt. Hier wollen wir uns 

 zunächst mit dem ersten Theile dieser Untersuchungen beschäftigen. 



Vor allem anderen handelt es sich um die Angabe jenes Werthes von a, der dieser Unter- 

 suchung zu Grunde gelegt werden soll und den wir ein für allemal mit a^ bezeichnen wollen. 

 Es ist ein bekannter Satz, dass bei jedem geordneten Polynome für gewisse extreme Werthe 

 der darin erscheinenden Buchstabengrösse, glcichgiltig , ob dasselbe ein geschlossenes oder 

 ein unendliches ist, das Anfangsglied einen bei weitem grösseren numerischen AVerth erlangt, 

 als alleFolgegliedcr. Diese extremen Werthe von a sind bei einem ab steigend nach Potenzen 

 von a geordneten Polynome die numerisch grossen, also namentlich die im Bereiche des Unend- 



lichen liegenden 



und 



cx), hingegen bei einem aufsteigend geordneten die numerisch 

 kleinen Werthe von a, also namentlich die abermals im Bereiche des unendlich Kleinen 



und . Für solche Werthe von a. die wir immer mit -h a^ bezeichnen 



liegenden : - 



r 



CO 



oo 



oo 



wollen, um den Unterscliied zwischen absteigender und aufsteigender Entwickelung nicht 

 immer erwähnen zu müssen, genügt es, nur das x\nfangsglied zu berücksichtigen, lun über 

 den Werth des ganzen Polynomes, namentlich über sein Vorzeichen Aufschluss zu eriialten. 

 Diese Werthe sind es auch, für welche die Trennung der Wurzel cc :== ^ (a) von allen 

 übrigen am leichtesten gelingt, und auch die Bestimmung der Function A keiner Schwierigkeit 

 unterliegt. Man wird die Aufgabe gelöst haben, wenn man A dermassen wählt, dass die beiden 

 für x^x^ und die zweite Substitution x^^x^ -j- A aus F {x^ a) hervorgehenden Substitutions- 

 resultate, die beziehungsweise mit ■^;. und Q^ angedeutet sein sollen, in ihren Anfangsgliedern 

 verschieden ausfallen und diese namentlich für den betrachteten extremenWerth a^ entgegen- 

 gesetzte Zeichen erlangen, während das derivirte Polynom F' {x^ d) für diese beiden Substi- 

 tutionen und auch für alle zwischenliegenden übrigen stets cineidei Anfangsglied im Substi- 



tutionsresultate liefert 



; 



denn dann liegt für den betrachteten extremen Werth a 



oo 



zwischen x.. 



und ^„4-A, den bekannten, für Zahlengleichungcn geltenden Sätzen zufolge, eine einzige 



r 



a 



) 



deren Entwickelung mit der Giiedersumme x. 



reelle Wurzel, und zwar gerade dto (p 



beginnt, wie später noch umständlicher nachgewiesen werden soll. 



Die hier festgestellte Bedingung ist keineswegs im Stande, die Function A völlig zu 

 bestimmen; sie lässt vielmehr der willkürlichen Wahl noch w^cite Schranken. In der That 

 denkt man sich die Function A genau in derselben AVeise, wie die Giiedersumme x^. entwickelt 

 und geordnet, so bezieht sich die hier aufgestellte Bedingung nur auf das x\nfangsglied dieser 

 Entwickelung, welches wir mit 6a^ bezeichnen wollen. Fügt man diese mit Oa" beginnende 

 Reihe A zu x^ hinzu und bildet nun für x = x,. -}- A das ans dem Gleichungspolynome F{x^ a 

 hervorgehende Substitutionsresultat, so sind drei verschiedene Fälle denkbar: 



1. (? ist der Pangordnung nach früher als der Exponent ^,,_^, des unmittelbar auf x^ fol- 



genden, noch nicht entwuckelten Gliedes li^j^^ a^'"*"*, d. h. es ist d 



^;-+l; 



wenn die ab st ei inende 



( 



b 



; 



LV- 



