i.-'-^ — : r V" ^ . ,:^ 



fSe^^j^^t^EUlL^^ 



Aufl'ösungsmetliode fllr algehraisclie Buchs tahengleichungen etc. 



183 



hingegen ^<C^,._^ij "wenn die aufsteigende Entwickelungsform vorliegt, 

 bekanntermassen das erste nicht verschwindende Glied des Substitutionsresultates: 



In diesem Falle ist 



(76) 



e^:a^''+' oder -0'^/^^«*'"+'^ 



oder erscheint auch wohl als Summe von zweien oder mehreren solchen Ausdrücken. Hier 

 bedeutet in der schon zu wiederholten Malen angewendeten Bezeichnungsweise f)/a^'''' das 

 Anfangsglied von ^/, ^ 



Co 



jenes von %^\ Die Ableitung dieser Ausdrücke, so wie die 

 genaue Angabe ^ wann die eine und wann die andere Form auftritt, kann hier füglich über- 

 e-an^en werden; wir verweisen den Leser, dem dies unldar sein sollte, auf unsere frühere 

 Abhandlung in dem XIL Bande der Denkschriften der mathem.-naturw. Classe und nament- 



lich auf die §§. 8, 9, 10, 



11, 19, 20. 



2. Es ist *^:=C;. '1 ^ind demnach das Anfangsglied des Substitutionsresultates Q^: 



(77 



^;-föi^;)a 



?Ir 



3. d ist der Rangordnung nach später als f^_^t, d. h. 



Ü 



d 



von Q • 



bei der 



aufsteigenden Entwickeluno- 



f^_(.j bei der absteigenden, 

 In diesem Falle ist das Anfangseiied 



i 



t)r<^ 



% 



also von jenem in ^, nicht verschieden. 



Betrachtet man nun die drei erhaltenen Formen des Anfangsglicdes von Q, (76), (77 



7 



(78) und vergleicht sie mit dem Anfangsgliede .f),a 



%. 



8 



;leich, dass nur die beiden crstcren (7 7 



•} 



von ^^, so überzeugt man sich also- 

 78) daA^on verschieden ausfallen und dass man 



durch eine zweckmässige Wahl der Grösse 6 denselben stets das verlangte entgegengesetzte 

 Vorzeichen ertlicilen könne. Hat man über 6 und o entsprechend verfügt, so können die 

 übrigen auf da' folgenden Glieder von A ganz nach Belieben gewählt werden. Man sieht 

 hieraus, Avie schon früher behauptet worden, dass es unendlich viele versciiiedene Functionen 

 von a o^ebe, welche die EoUc des Ergänzungsgliedes zu übernehmen im Stande sind; alle 

 bisher p-cforderten Eigenschaften beziehen sich nur auf das Anfangsglied a\ Wir wollen sie 

 später noch aufmerksamer betrachten, jetzt aber zunächst auch die andere Bedingung für A 



A und 



in Erwägung zielicn, welche besagt, dass die Anfangsglieder der für x 





X. 



auch für alle Zwischensubstitutioncn aus dem derivirten Polypionie -F' (.r^ r/) hervorgehenden 

 Substitutionsresuitate einerlei Anfangsglicd besitzen sollen. 



Stellen Avir abermals A in seiner entwickelten Gestalt auf, beginnend mit dem Anfangsgliede 



r 



6a\ und substituiren den Werth x^ -f- A anstatt x in das derivirte Polynom F (x, a), bezeichnen 

 ferner mit /^ a^" jenes Glied der Gliedersumme z,, für welches die vollständige Isolirmig der 

 entwickelten AVurzel erfolgt ist. Das isohrcnde Glied /^^aystmeistentheils das Anfangsglied 7^0«^", 

 bisweilen ein späteres ; hier wo, der schon anfangs gemachten Voraussetzung nach, x^ eine isoli- 

 rcnde Gliedersumme vorstellt, aber jedenfalls in dieser Gliedersummxcx^ enthalten. Das isolirende 

 GliedÄ fJ^ Pibt sich bei der Entwickelung der Glieders ummex,. unzweifelhaft zu erkennen dadurch, 



dass von diesem angefangen, alle späterenFolgeglicder h^^, a?;>+S ^^+2^^^+S • • • K^^^ ^^^ ^^^ Glieder- 

 summe x^ durch Gleichungen des ersten Grades ermittelt werden, während alle vorhergehenden 

 und k a^" selber nur durch Betrachtung einer Buchstabengleichung höheren Grades erhalten 

 wurden. Eine andere, hiemit im innigen Zusammenhange stehende, hier für uns noch wich- 

 tigere Erscheinung-, vermittelst deren sich gleichfalls das isolirende Glied h^a'" erkennen lässt, 



