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Ignaz Heg er. 



besteht darin ^ dass von diesem Momente an das Anfangsgdicd ^\,ci^^''' des aus F' {x^ a) hervor- 

 R-ehcndcnSubstitutionsrcsultatcs^' fo^^"^^"^^^^'^^'^*! dasselbe bleibt, auch für alle späteren Indices: 



ö 



i^ + l^i^ + ^j "^j womit eben erwiesen ist, dass das Glied Ä^^a^'' denjenigen Bedingungen 



Aviderspricht , welche es erfüllen müsste, um als ein Entwickelungsglied einer "Wurzel der 

 derivirten Gleichung F' (o;, a)= zu gelten. Da also das isolirende Glied \a^% in der Glieder- 



= in der Weise widerspricht , dass nur eine an 



summe x^ das letzte , der Gleichung F' (x, a 



ihm angebraclite Änderung der Grössen f^ und \ keineswegs aber das Hinzufügen anderer, der 

 Rangordnung späterer Glieder das Nullwerden des Anfangsgliedes ^'^d^^'" herbeiführen kann, 

 welches sonst unterbleibt; so ist es hier klar, dass r> jedenfalls der Eangordimng später als c^,, 

 d. h. bei der absteigenden Entwickelung (?<c^,, bei der aufsteigenden hingegen o*>f^, 



gewählt werden müsse, wenn die beiden für x^x^ und a:;:=x^ + A ^\\sF'{x^a) hervor- 

 gehenden Substitutionsresultate %'^ und £}',. in ihrem Anfangsgliede ^.^,d'" übereinstimmen 

 sollen. Thut man dies wirklich, so Averden nicht nur für diese beiden Substitutionen: x=^x^ 



F 



und x^x^~\- 6 ctj^ Ar ? sondern auch für alle dazwischenliegenden, die alle in der einzigen 



Form x = x,. -f- 6a^ enthalten sind, wenn, man dem Goöfficienten 6 alle möglichen zwischen 

 und 9 liegenden Zwischenwcrthe ertheilt, die aus F' (x^ a) hervorgehenden verschiedenen 

 Substitutionsrcsultate einerlei Anfangsglied |)'a'^''' besitzen. 



Halten wir nun die so eben abgeleitete Bedingung für d mit der früheren zusammen, so 

 sieht man, dass d seinem Werthe nach zAvischen c^ mrd c^.^.^ fallen oder mit f,.^i übereinstimmen 

 müsse, wenn den beiden Bedingungen entsprochen werden soll. Es ist jetzt noch übrig, die 

 für den Coefficienten 6 bestehenden Bedingungen genauer kennen zu lernen, und wir wenden 

 uns desshalb wieder zu den beiden früher aufgestellten Hauptformen (76) mid (77), die 

 für dcrmassen gewählte d gelten können, wobei noch zu bemerken ist, dass von den beiden 

 unter (76) aufgeführten nur die erste giltig sei, da die zweite für solche Wertlie von r? am 

 Platze ist, die dem 6^ der Rangordnung nach vorhergehen. Beginnen wir mit jenem Falle, 

 in welchem d von <f^^i verschieden und somit die erste der beiden Formen (76) das Anfangs- 

 glied des für x^=^x^~\- A hervorgehenden Substitutionsrcsultates Q^ darstellt und vergleichen 

 hiemit das Anfangsglied f),.«^' von ^,., das der anderen Substitution x — 



Sollen für den extremen Wcrth ±a^ diese beiden Anfangsglieder entgegengesetzte 



x^ angehört. 



Zeichen tragen, so muss offenbar der Quotient: 





{±a 



SI.-'-2IrH-'5 



oo 



das Zeichen minus erhalten, folglich dem Goöfficienten 9 das entgegengesetzte Zeichen von 



(79) 



V 



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(ißoc) 



V-^r+'5 



ertheilt werden. Der numerische Werth von Q unterliegt aber hier keiner Beschränkung. 



Wählt man hingegen ^=:f^._^, 



Sl 



r 



SIV, so ist die Form (77) giltig für das Anfangs- 



glied von Q^. Sollen nun für den extremen Werth ± ^oo <lie beiden Anfangsglieder von % 

 und D^ entgegengesetzte Zeichen erhalten, so muss der Quotient derselben: 



(80) 



1 + 6» 



•5r 



negativ sein, und da bckanntcrmasscn der Cocfficient Ä,^, des näcihsten auf x; folgenden Gliedes 



T 



■ ~^^^^~^. 



