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ge^-eben ist durch die Glcicliung' Ä,, , ^ 



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^7, so kann man \\\ (80) den Bruch ---- durch den 



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ihm gleichen: — --- ersetzen und gelangt dermassen zur Bedingung, dass 



1 



1 



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A?-+i 







sein soll. Dieser Bedingung gemäss ist daher das Zeichen von ö jenem von h^j^^ gleich, 

 sein numerischer Werth aber grösser, sonst aber nach Belieben zu wähl en. 



Diese sind die Bedingungen, die man in dem ehien und in dem anderen Falle zu erfüllen 

 hat. Es drängt sich hier die Frage auf: Welcher Wahl von o soll man den Vorzug geben? 

 und ist nicht schwer, sie zu beantworten. Da zunächst nur die extremen AVerthe von a und 

 die an sie grenzenden endlichen Nachbarwerthe in Betracht kommen, für die der numerische 

 Werth von Qa^ desto kleiner ausfällt, je eine spätere Rangordnung dieses Glied d einnimmt, 

 mit jeder unnützen Yergrösserung des numerischen Werthes von A auch die Ungenauigkeit 



SI.— 5i: der 



zunimmt, so ist schon von diesem Gesichtspunkte aus der Werth d 



r+i 



zwcckmässigstc. Es lässt sich aber diese Wahl von (? noch aus einem anderen Grunde als die 

 zweckmässiö^ste bezeichnen, denn in diesem Falle besteht für den Coefflcienten 8 die Bestimmun o\s- 



relation (81), die den extremen Werth ± a^o niclit in sich enthält. Einerlei Werth von /9 wird 



daher sowohl für 



«CO als für 



«CO A'iJ^ti^' sein , wenn er nur die Relation (81 



^iM^ 



erfüllt. Nicht 



so verhält es sich, wenn man o von ^,._^, verschieden nimmt, denn in diesem Falle hat man dem 

 Coefficienten 6 das entgegengesetzte Zeichen zu erth eilen von jenem, welches der Ausdruck 



— (Zoo, und namentlicl 



79) besitzt und das gelegentlich für -face ein anderes wird als für 

 dann, wenn der Exponent St/ = 5t^ + d keine gerade Zahl ist. 



03J 



1 



Gei^-en diese wichtigen Gründe 



tauchen zwar für den ersten Anblick fol^-ende Ge^-eng-ründe auf: Die Wahl ö 



ö 



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Sr-1^1 



31 



9i; 



setzt eigentlich die vollkommene Bestimmung, des Folgeglicdes \^^a^^-^^ voraus: Der Exponent 

 f,.^i muss gesucht werden, weil dieser noch unbekannte Zahlwerth dem o erthellt werden soll, 

 aber auch A,._^i ist zu suchen, denn aus ihm ergibt sich der Werth von Ö, der Relation (81) 

 zufolge, einfach dadurch, dass man sein Zeichen unverändert lässt und nur seinen numerischen 

 Werth um eine ganz 



beliebige Grösse erhöht. Hingegen erfordert die Wahl o 



gar 



keine Rechnung, da <?^ schon bekannt ist, und zur Bestimmung von 6 braucht man nur das 

 Zeichen von (79) zu kennen, also nur das noch unbekannte Zeichen von ^^ und den Werth 

 von 21,, zu ermitteln. Allein die Bestimmung des Zahlwerthes von |),, ist das Einzige, was man 

 dabei ersparen würde, und erfordert fast nicht mehr Mühe, als die blosse Bestimmung seines 

 Zeichens. Ist aber der Zahlwerth dieser Grösse ermittelt, somit das Anfangsglied ^,,(r^'' von 



i\ 



%^. bekannt, so erheischt die Bestimmung von A^^ia^^'+i abermals keine grossere Rechnuni>- als 



^ 



jene des Zeichens von (79), nur dass man auch den Zahhverth des Bruches — ^, suchen muss, 



eine Mühe, die nicht der Erwähnung werth ist. überdies fordert die später einzuleitende 

 Bestimmun<^- des giltigen Intervalles von a jedesmal, dass die Substitutionsresultate $^ und 



Q,, vollständig gebildet werden, womit eben die zur Bestinmmng des Folgegliedes h^^^a^^^^ 

 erforderliche Rechnunir bis auf eine einfache Division zweier Monome vollendet ist. Nach 

 air dem Gesao-ten ist wohl kein Zweifel mehr übriß-, dass die Wahl ö^^c^+j die zweck- 



Ö 7 



massigste sei. 



Es geht hieraus folgende allgemeine Regel zur Bestimmung des Ergänzungsgliedes ^ 



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hervor: Man führe die bekannten Rechnungen aus, die das nächste Folgeglied 



Denkscliriften der mathem.-naturw. Gl. XHI. Bd. Abband], v. Nichtraitgl. 



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