186 



Ignaz Heger" 



^^j_: CL^'"'^^ liefern, und zuletzt 



V e r g r ö s s r e man den 



W 



Coefficienten Ä,.^j ohne Eücksiclit auf sein Zeiclien um eine nach Belieben 

 oder anderen Bedingungen entsprechend gewählte Grösse: so hat man das Anfangsglied 



kann nun nach AVillkür dieses Monom 6'a?'-+i für A selber nehmen, und dies 



•) 



von A. \ 



dürfte wohl mcistentheils die zweckmässigste und einfachste Wald scin^ oder man kann 

 beliebige Glieder von einer späteren Rangordnung und in beliebiger Anzahl hinzufügen, wohl 

 auch ganz beliebige Functionsformen crwählenj wenn sie nur die Eigenschaft besitzeUj bei der 

 geordneten Entwickelang mit dem Anfangsgliede 0a^^-+i versehen zu sein. 



AVir wollen hier noch ein Verfahren erwähnen, das sich bei einigermassen weiter fortge- 

 führter Entwickelung mit Erfolg anwenden lässtj um das Ergänzungsgiied als ein Polynom zu 

 finden , welches einen viel höheren Grad von Genauigkeit verstattet. Es ist schon bei der 

 Bestimmung derFolgeglieder bemerkt worden, dass bei weiter fortgesetzter Entwickelung sich 

 dieselben gruppenweise ermitteln lassen und die Anzahl der in einer Gruppe enthaltenen 

 Glieder in einem raschen Verhältnisse zunimmt. Dieses Verfahren tritt in Wirksamkeit, sobald 

 die Entwickelung der Wurzel so weit vorgeschritten' ist, dass dadurch nicht blos die Trennung 



derselben von allen Wurzeln der ersten dcrivirten Gleiclmiig F 



X. a 1 - 



0, sondern auch von 



allen der zweiten i^'' {x^ a) 



deren Wort 



%'' unveränderliche W 



'.'a?''' 



In diesem 



Falle kann man die Entwickelung des Quotienten 



33 



nenten: Sl 



// 



3SL' ' 



- bis exclusive zu dem mit dem Expo- 

 23^(,. versehenen Gliedc fortsetzen und erhält so eine Gruppe von mehreren 



richti<'>'en Folgegliedern mit einem einzigen Schritte. Genau dasselbe Verfahren lässt sich anwen- 



den, um das Ergänzungsglied in Gestalt eines mehrgliederigcn Ausdruckes zu erhalten. Bezeichnet 

 man nämlich mit ?,,+,— 





■+i 



+ 2 i jene zwischen f, und Sl/— 3%/ + 2S[, fallende Zahl, die von 

 SU' um eine gerade ganze Zahl +2^ differirt und dem genannten Grenzwerthe: 



%[ " 35[ ' 4-291. möglichst nahe kommt; entwickelt nun den Quotienten in den Anfan^rs- 



^r-^i 



21 



gliedern: Ä,.^|a^''+i + K^^i^^ 



'Mr 



2 _L_ 



1 # • 4 # 





^ 



r 



Avobci der Cocfficient h^^, im letzten Gliede 



entweder den Werth Null oder einen significativen Werth erlangen kann, und fügt nun zu dem so 

 gewonnenen Ausdrucke noch ein Glied 0«?^+^ hinzu, dessen Cocfficient dasselbeVorzeichcn 

 träo-t, wie der Cocfficient ä^.^^ im ersten Gliedc , dessen numerischer Werth aber ganz nach 

 Belieben gewählt sein kann; so ist das solchergestalt hervorgehende Polynom: 



Q 



u 



K^,a^^-+^ + /^.+2«^^'+^ + + {K 



+s 



6) a^''+ 



s 



ein brauchbarer Werth für das Ergänzungsglied A. 



In der That führt man die kSubstitution 

 X + A in das Gleichungspolynom aus, so erhält man, in Folge der eintretenden Eeduction 

 auf Null in den höchsten Gliedern, das Anfangsglied von Q,. in der Gestalt: 6'f)',a^^'''+^'-+^. Da 



nun 



den gewählten Bezeichnungen gemäss f,._^. 



^4-. ± 2 ^ 



Sl 



^v« 



Sl' , ± 2 /, und folglich 



Wr + 6.+. = 51^ ±22 ist, so besteht für das Anfangsglied von Q, auch die Form: 6^Ja^^^'-±K 

 Vergleicht man nun dasselbe mit dem Anfangsgliede |)^a'^'- von % und erinnert sich, dass 6 

 einerlei Vorzeichen mit h^,^ = — ^-, trägt, also &^J das entgegengesetzte Zeichen von ?), 

 besitzt; so sieht man alsogleich, dass die beiden Anfangsglieder |),a'^^ und G.^',a^^'^-±'^^ sowohl 

 für positive, als für negative Werthe von a entgegengesetzte Zeichen besitzen, und demnacl 



der mehrgliedrige Ausdruk 



2^ für 



die beiden extremen AVcrthe: 



a 



OÜ 



un 



d - 



a 



oo 



die 



Bedincrungen für das Ergänzungsglied erfüllt. Es ist wohl überflüssig, zu bemerken, dass der 



U^-S 



3^ ^- - -1 



