■■-^j- >^ -^jJ-i^a-u 



AL-UJ^^JJ-VA \^.^ 



tf.^ 



Auflosungsinetliodefür algebraisclie BuclistcthcnglekJiungen etc. 



187 



anderen geforderten Beding'ung, der zufolge die Substitutionsresultatc ^'^ und D^ einerlei 

 Anfaugsglicd erhalten sollen^ liier gleichfalls schon A^on selbst Geniige geleistet sei. Es ver- 

 steht sich auch von selbst^ dass man zu dem Ausdrucke (82) nach Belieben noch Glieder von 

 späterer Ordnung hinzufügen könne^ ohne dass dadurch eine Änderung im Anfangsglicde des 

 Substitutionsresultates D,. erfolgt, und dass alle diese unendlich vielen verschiedenen Functionen 

 brauchbare Formen des Ergänzungsgliedes seien. Man wird aber meistentheils dem Aus- 

 drucke (82) den Vorzug einräumen, weil er die einfachste Gestalt besitzt und daher die Eech- 

 nungen nicht unnützer AYeise complicirt. 



Es ist nur noch übrig, den Beweis zu liefern, dass die für az^ + Uoo zwischen x^ und 

 a:^+ A liegende exacte Wurzel eben diejenige sei, welcher die Gliedersumme x^. eigen ist. Dies 

 unterliegt hier keiner Schwierigkeit. Bildet man nämlich für die verschiedenen Wurzeln x 

 der Gleichung i^(a;, a) = die Differenz x ^ x^ und berechnet den numerischen Werth 

 derselben für die extremen Werthe ± ^oo von a, so erliält dieselbe nur für eine einzig-e, und 

 zAvar für die mit der Gliedersumme x^ beginnende Wurzel einen numerisch kleineren Werth 

 als A, für alle übrigen aber durchaus numerisch grössere Werthe, und es kann somit kein 

 Zweifel mehr obwalten, dass die zwischen x^ und x^ + A fallende Wurzel für die extremen 

 Werthe ±aoo eben diejenige sei, deren Entwickelung die Gliedersunnne x^. eigenthümlich 



zukommt. 



§. 3. 



Bisher wurde die Bestimmung des Ergänzungsglicdes A nur bezüglich der 



^^..^v...^. „..v.....^ ^ ..... ^^^^j_,..^.. v.^. extremen 

 AVcrthe von a zum Gc*:>'enstandc der Betrachtung gemaclit. Jetzt wollen wir uns aber zu den 



o 



anderen und endlichen Werthen von a wenden und untersuchen, für welche Intervalle von a 

 die nach den Eegeln des vorhergehenden Paragraphes bestimmte Function A die Bedingungen 



welche für das Ergänzungsglied aufgestellt Avurden, Die im Vorhergehenden unter- 



er 



suchten Bedingungen waren nur im 



Stande, den Werth des Exponenten c^ und das Zeichen 

 des Cocfficienten 9 im Anfangsglicde 6a^ des Ergänzungsgliedes zu bestimmen; der numerische 

 Werth von 6 aber kann nach Belieben, wenn nur grösser als /?,,_^i, gewählt werden. Im Nach- 

 fol<^-enden wollen wir voraussetzen, dass man über diese Avillkür liehen Grössen in A bereits in 

 einer bestimmten Weise verfügt habe, so zwar, dass A eine vollkommen bestimmte, nur noch 

 die einzio'o Buchstabengrösse a enthaltende Function darstellt, und nun untersuchen, in welchem 

 Intervalle von a dieselbe die liolle des Ergäuzungsgliedes zu übernehmen im Stande sei. 



Für jeden bestimniten Zahlwerth von a verwandeln sich sowohl die Grenzen x^ und 

 2; 4- A als auch die ihnen entsprechenden aus F [x^ a) hervorgehenden Substitutionsresultatc 

 %^ und D,. in bestimmte Zahlen. Nur dann, wenn die Vorzeichen dieser beiden Zalilen ^,. , D^ 

 ento-eo-eno-esetzt sind, ist der Werth von a in dem Intervalle von a eiithalten, welches dem 

 erwählten Er<^-änzuno'sgliede A entspricht. Daraus aber, dass die Vorzeichen von ^^ und D^ 



ö 



ento-eo-en^-^esetzt sind, folgt aber noch keinesAvegs, dass für diesen specicUen Werth von a das 



Ero-änzuno-sodied A cri\ii<x sei, wie dies für die extremen Werthe ±a^ der Fall war, sondern 

 man muss sich noch andere Ivennzeichen verschaffen, um diese Frage entscheiden zu können. 

 In der That folgt dai-aus keineswegs, dass nur eine einzige Wurzel x zwischen den Grenzen 

 enthalten sei, sondern es können deren auch 3, 5,... dazwischen fallen; noch viel weniger ist 



erwiesen, dass die dazwischen liegende Wurzel eben diejenige sei, der die Gliedersumme x, 



y-' 



-_Ai 



