188 



Ignaz TIeger, 



eigen ist. Man ersieht hieraus^ dass für endliche Werthe von a die Untersuchung einen anderen 

 und complicirtcrcn Gang nimmt , als hei den extremen Wcrthen. 



Die Untersuchung selbst lässt sich auf zwei versehiedene Weisen durchführen, deren jede 

 ihre eigenen Voi*theile gewährt. Diese zwei Untersuchungsweisen sind nicht blos verschieden 

 im Gange der Ecchnung, sondern führen auch zu einem verschiedenen Resultate ^ indem die 

 eine derselben das vollständige Intervall von a genau oder doch in einer beliebigen Annä- 

 herung zu liefern im Stande ist, während die andere nur einen Theil des giltigen Inter- 

 valles aufzufinden vermag: dafür verstattet die zuletzt erwähnte Methode, Aufschluss zu 

 ertheilen über den Grad der Convergenz bei weiter fortgesetzter Entwickelung der Wurzel, 

 während dies bei der früheren nicht möglich wird. Aus diesem Grunde finden wir uns veran- 

 lasst, dieses Problem auf zwei verschiedene Weisen zur Lösunp- zu brina'cn. Wir berfnuen mit 

 der Auseinandersetzung der ersten Art. 



Bei dieser Untersuehung-sweise hat man fol^-ende RcR^el zu befola^en: Man substituire die 

 beiden Grenzen x^ und x^ - 



ö 



- A anstatt x in das Gleichungspolynom F (x^ a) und bilde die 

 beiden mit %^ und Q^ bezeichneten Substitutionsresultate. Nun suche man vom extremen 

 Werthe -V aoo ausgehend und zu den nächstlief:^-cnden endlichen A¥erthen stufenweise vor- 



1 von a 



für welchen emQ der beiden anfaiii^fs mit 



schreitend, jenen speciellen Zahlwertl 



entgegengesetzten Zeichen versehenen Functionen ^^, O^ ihr Vorzeichen wechselt. -^ a^ sei 



dieser Werth; so ist + «o^ ^ a^ vorläufig ein Intervall von a, über dessen Bereich hinaus 



sich die Giltio'keit von A als Eri2:änzunfi^s2:lied nicht erstrecken kann. Ob aber nur ein Theil 



b 



ö^b 



dieses Intervalles oder das ganze den Bereich der Giltigkeit von A als Ergänzungsglicd angibt, 

 entscheidet man nun auf folgende Weise: Man sucht, ob das System von zwei Gleichungen 



0^ F' (x', a) = 0, welches schon im Vorhergehenden zur Ermittelung der von Irratio- 



Stetii>-keit in den Genüge leistenden Functionen 



F (a:, a) — 



nalgrössen herrührenden Unterbrechung der 



angewendet wurde, eine Auflösung besitzt, bei welcher der Werth von a zwischen -f a^ und 



+ a^, jener von x aber zwischen die Zahlwerthe von x^. und x^. + A fällt, welche diese zwei 



Functionen von a annehmen, wenn man anstatt a eben jenen der Auflosung des Systems 



zukommenden Zahhverth setzt. Findet sich keine Auflösung dieser Art, so ist das volle Intervall 



+ aoo — + ci, giltig, denn es ist nunmehr gewiss, dass im ganzen Bereiche dieses Intervalles 



nur eine einzige, und zwar stets dieselbe Wurzel zwischen den Grenzen x^ und x,. + A liegt, 



nämlich die der Gliedersumme x^. entsprechende <pfa). Findet sich hingegen eine oder Avohl 



auch mehrere Auflösungen des oberwähnten Systems, deren Zahlwerthe für a und x in den 



ßoo und 



a^ einerseits, und zwischen x^ und x^ -f A andei^ei^seits fallen. 



Bereich zwischen — 



so ist man genötln'gt, das Intervall -^ a<^ — -f a^ zu verkleinern, weil trotzdem dass % und 

 O^ fortan entgegengesetzte Zeichen behalten, an gewissen Stellen plötzlich nebst der ursprüng- 

 lich einzigen Wurzel ^ (a) noch andere, und zwar paarweise in dem Zwischenräume x^ :r,, + A 



auftreten, die von Imaginär in Beeil übergehen. Der in der Auflösung des Systems erschei- 



nende Werth von a, den wir mit -\- a bezeichnen wollen, bestimmt die Ausdehnung des 



giltigen Intervalles + a^c -\- a von a, das dem Ergänzungsgliede A angehört. Sind mehrere 



verschiedene Auflösungen des Systems vorhanden, welche gleichzeitig im erwähnten Intervalle 

 liegen, so dass ein Zweifel entsteht, welcher von den verschiedenen Werthen von a als Grenz- 



V 



werth des giltigen Intervalles + «co -f a^ genommen werden soll, so entscheidet sich dieser 



Zweifel immer dadurch, dass von ilmen stets derjenige zu nehmen ist, dem das kleinste Tntervall 

 von a entspricht, also derjenige Werth von a, der dem extremen + a^o am nächsten liea't. 





'♦■-V^T.X-- .„ 



^ -i 



i t^j-^m 



