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Aiiflösungsviffliodefür algehraisclie Ijuclistahengleicliungen etc. 



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Hat man das für positive Wertlie von a geltende Intervall aufgefunden, so schreitet man 



genau 



in derselben Weise zur Bestimmung des für 



negative Wertlie von a geltenden : 



a 



ff 



oo • ■ • • 



d' vor. Hiemit ist aber die Bestimmung der giltigen Intervalle beendigt. 



Wir wollen diesen Vorgang nun näher beleuchten und vollkommen begründen. Vor allem 

 anderen ist klar, dass in dem vorläufig aufgefundenen Intervalle -f- ctoo — + o! und 



a 



oo • • • • 



a!' die beiden Substitutionsresultate ^^ undQ,. stets entgegengesetzte Zeichen besitzen werden, 

 indem dies für die extremen Werthe ± «oo erwiesenermassen der Fall ist und in der vollen 



erwähnten Intervalle eine Zeichenänderung weder bei ^^ noch bei D^ 

 eintritt. Daraus aber, dass % und Q, entgegengesetzte Vorzeichen behalten in der ganzen Aus- 

 dehnung" dieser Intervalle, folgt aber nur, dass eine ungerade Anzahl von Wurzeln: 1, 3, 5, .. . 



Ausdehnung der 



zwischen x,. und 2^^. + A enthalten ist, und zwar mindestens eine einzige, wohl auch deren 

 drei, fünf an der Zahl u. s. av. Nur für die extremen Werthe ±a^ ist es erAviesen, dass nur 

 eine einzige Wurzel zwischen x,. und x, + A fällt. Beim Übergänge von den extremen Werthen 

 aoo zu den endlichen können aber andere Wurzeln paarweise zu der ursprünglichen <p{a) hinzu- 

 treten. Übcrleo-en wir etwas R-enauer, in welcher Weise dieses Hinzutreten anderer Wurzeln 

 paarweise erfolgen könne, a sei der specielle AVerth von a, für welchen dies stattfindet, so 

 zwar, dass für d -\-e^ unter e eine sehr kleine positive oder negative Grösse und unter a + s 

 ein im Intervalle -f a^c . .. . -|- a liegender Werth von a verstanden, noch immer nur eine 

 einzige Wurzel x zwischen x^ und x, + A fällt, während für den im angrenzenden Intervalle 



liegenden Werth et 



sind. Da Vorausgesetztermassen a! im Intervalle +«00.... + 0^, oder 



schon drei oder fünf AVurzeln u. s. w. zwischen x^ und :r, + A enthalten 



a 



00 • • • 



a^ liegt und 



somit ^,, und Q,. für a' von Null verschieden sind, so treten offenbar die paarweise hinzu- 

 gekommenen neuen Wurzeln plötzlich in der Mitte zwischen x, und x, -^ ^ auf, was nur in der 

 einzigen Weise denkbar ist, dass diese Paare von Wurzeln für et +e noch imaginär waren 

 und für a' gleiche und reelle Werthe erhalten; kurz die neu hinzugetretenen AVurzeln können 

 nicht durch einen stetigen Übertritt, sondern nur durch ein unstetiges Ubersjjringen in den 



ZAvischenraum x^..,..Xy^ ^ gelangen. 



Der Werth a und der correspondircnde gleiche AVerth dieser paarweise reell gewordenen 

 Wurzeln muss daher nach den früher entwickelten Vorschriften gefunden werden können, 

 welche die in den Genüge leistenden Functionen erscheinenden Irrationalgrössen aufzudecken 



bestimmt sind. Findet sich kein Werth von a und x, der dem Systeme P= 0, — 



leistet und innerhalb x,. + A in dem Intervalle -|- a^c . . . . + '^i ^^^^ — ^cc — — 



:0 Genüge 



^ . . . . — aa befindlich ist, 



so ist auch die Unmöglichkeit des plötzlichen Auftauchens neuer Wurzeln durch eine Unter- 

 brechung- der Stetigkeit erwiesen und es unterliegt auch keinem Zweifel, dass in der vollen 



Ausdehmnn>' der erwälmten Intervallen von a die entgegengesetzten Vorzeichen von 5^^ un 



d 



Q, nur auf eine einzige zwischen x^ und x, + A fallende Wurzel der Gleichung P= hindeuten 



(Pia 



sein müsse, da für den extremen Werth ±a^ dies 



und diese daher nothwendig die 

 unzweifelhaft nachgewiesen ist. 



Es ist wohl kaum nothwendig zu bemerken, dass der eben angeführte Beweis zunächst 

 nur o-elte. wenn x und o:.. -^ A in den erAvähnten Bereichen keine Unterbrechung der Stetigkeit 



erleiden, denn in jenen Fällen, in welchen eine Unterbrechung der Stetigkeit stattfindet, müsste 



dass in einem jeden einzelnen Thcile keine 

 erwählten Functionsformen ist diese Störung nicht 



njan das Intervall stückweise untej'suchen, so 



Unstetigkeit mehr besteht. Bei den von uns 



vorhanden, denn x^ ist eine Summe von Gliedern von der Form lia^ und kanii daher nur für 



}\ 



