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Auflösungsmethodefüj' algehraisclie Biiclistahengleicliungen etc. 



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weit fortgesetzt sei, so zwar, dass die Gliedersumme x^ nieht blos die Isolirmig dieser Wurzel 

 Yon allen Wurzeln der ersten derivirten Gleichung^' {pc^ aj=zOj sondern aucli von jenen aller 



übrigen : 



F 



II 



Xj a 



^0, F^'^ (x, a) =0 — , die durcli öfter wiederholte partielle Differentation 

 des Gleicliungspolynomes F(x^ a) nach x abgeleitet sind, bewerkstelligt sei. Meistentlieils 

 ersclaeint kein gemcinscbaftlielier x enthaltende Factor glciclizeitig im Gleiclmngspolynome 

 F{x^a) und irgend einem der daraus durcli partielle Differentiation nach x abgeleiteten: F (x^ a), 

 F" {x^ ci). F"'(Xj a),.... imd folglich wird man In der Eegcl durch hinlänglich weit fortgesetzte 

 Entwickclung zu dem verlangten Punkte gelangen. In den anderen Fällen hingegen, in 

 welchen ein gemeinschaftlicher Factor in F{x^ a) und in einer der derivirten Functionen F' (x^a), 

 F" (x^ «,) F'" (x, a),.... erscheint, lässt sich derselbe nach den bekannten Eegeln auffinden, 

 sondern und gleich Null setzen. Die erhaltene Gleichung ist viel einfacher als die -P(^, a) :=0 

 und liefert eben jene AVurzeln x 



; 



deren beliebig weit fortgesetzte Entwickelung bei der 

 F(x^ a) =0 nicht zu der gOAvünschten Trenn mig führen konnte, die aber hier ohne alle Seh wie- 

 rii>*kcit .i?elini>-t. Man sieht hieraus, dass der verlangten Bedingung stets Genüge geleistet 



=: nur durch 



«^ 



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hinreichend weit fortgesetzte Entwickelun^; 



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werden könne, und zwar meistentheils bei der ursprünglichen Gleichung i^(x, a) 



in gewissen Ausnalimsfällcn jedoch , zwar nicht 

 bei dieser, sondern bei einer anderen und viel einfacher gebauten Glcicliung, welche dieselbe 



Wurzel besitzt. 



Man erkennt, dass diese Bedingung erfüllt ist, daran, dass von dem Augenblicke an, als 

 die in diesem Sinne isolirende Gliedersummo x^ ermittelt worden, durch ein ferneres Hinzu- 

 fügen von FolgoAliedern die Anfangsglieder S^'rß% f)/'^'^'"'; ^r"(^^^"\ • • • ^cr Substitutionsresultate 



ö"b 



unverändert bleiben. Dasselbe findet aber auch Statt, wenn man zur 

 isolirendcn Gliedersumme x^ andere, ganz nach Belieben gewählte Glieder von späterer Eang- 



ordnuno- hinzufü^-t und die entsprechenden Substitutionsresultatc aus F'{x^a)^ F" (x^ a)^ 



7! III 



X 



X, a), .... ableitet; immer werden die Anfangsglieder dieselben AVerthc besitzen wie für 



eil die hinzu o-efiio*ten Glieder auf die Anfangsglieder keinen Einfluss haben. Dies 



2:,, w 



gilt also auch für den zweiten Grenzwerth x^ 

 einer späteren Eangordnung sind. 



Betrachten wir nun die Functionenreihe : 



A. da die hinzugefügten Glieder A stets von 



(83) 



F''"'\xa) , F^"'~'\x,a) ,.... F"{x,a) , F' {x^a) , F(x,a), 



substituiren in dieselbe zuvörderst den einen Grenzwertli x = x^, hierauf den anderen x 

 und bezeiclnien die liervore-eliendcn Substitutionsrcsultate bezieliunffsweise mit: 



x.i-A 



(84) 





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Würde hier a nicht eine willkürliche Buchstabengrösse, sondern einen bestimmten Zahi- 

 werth bedeuten, so Aväre die Functionsreihe (83) eben dieselbe, die von Fourier zur Beur- 



— denn eine solche wäre 



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theilung der Grenzen für die Wurzeln einer numcrisclien Glcicliung — 



dann die F(x, a) =0 — vorgesclilagen wurde; die in (84) erscheine! 



D wären bestimmte Zahlen und aus ihren Vorzeichen liesse sich in der bekannten AVeise die 



Anzahl der Zcichenwechsel für die eine Substitution x^ und die andere x,-\- A entnehmen und 



aus der Differenz dieser Anzahlen in den Zeichenwechseln auf die Anzahl reeller Wurzeln x 



ein Schluss ziehen, welche innerhalb der beiden Grenzwerthe x, und x, + A fallen. So z. B. 



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