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Ignaz Heger, 



auch, wenn der Grösse a ein extremer "Werth ±aoo ertlicilt wird. Da für die extremen Wertlie 

 von a^ wie sclion friilier erwähnt , das Vorzeichen der Substitutionsresultate nur von den 



die Polynome 



Anfangsgliedern derselben abhängt , so kann man in den beiden Reihen 

 % und £} durch ihre Anfangsglicder ersetzen. Nun sind aber unter den hier g'cmachten Voraus- 

 setzungen die Anfangsglieder von: ^/™\ $/'"~^\ .... %J.\ ^^ beziehungsweise genau dieselben 

 wie von ^}'^\ £l}'^~^\ .... D/', D/ und nur die Anfangsglieder von $ß^ und £l^ sind verschieden 

 und besitzen entgegengesetzte Vorzeichen. Es folgt hieraus , dass für die extremen Werthe 



^ 



±aao in (84) die obere und untere Reihe von Zeichen , mit Ausnahme der letzten j genau 

 dieselben seien und daher die Differenz in der Anzahl der Zeichenwechsel gleich Eins ausfallen 

 müsse, woraus sich mit Sicherheit sehliessen lässt, dass eine einzige Wurzel x zwischen x^, und 

 x^-\- ^ fällt, wie wir schon von einer früheren Untersuchung her wissen. Geht man von diesen 

 extremen Werth en 



ttco stufenweise zu den endlichen über, so wird sich die Zeichenanordnung 

 in den beiden Reihen (84) und folglich auch die Differenz in der Anzahl der Zeichenwechsel 

 nicht ändern können, so lange keine der mit ^ und D bezeichneten Functionen ihrVorzeichen 

 wechselt und erst bei dem ersten endlichen Werthe von a, dem man bei diesem stetigen Fort- 

 schreiten begegnet, für welchen irgend eine der Functionen 5ß oder O ihr Vorzeichen w^echselt, 

 kann die Zeichenanordnung in (84) eine andere und viellciclit auch die Differenz in der 

 Anzahl der Zeichcnwechsel von Eins in eine andere übergehen. Bezeichnen wir, um einen 

 bestimmten Werth von a festzuhalten, mit cc den Werth von a, dem man zuerst begegnet, für 

 welchen eine der mit ^ und £i bezeichneten Functionen ihr Vorzeichen wechselt, und unter- 

 suchen wir nun den Einfluss, den dies auf die Differenz in der Anzahl der Zeichenwechsel 

 haben kann. Für den Bereich 



a 



oo • • 



- a' ist es erwiesen, dass die Differenz in der Anzahl 

 der Zeichenwechsel stets gleich Eins bleibt, indem die Anordnung der Zeichen in (84) stets 

 dieselbe bleibt. Es wird sohin im vollen Bereiche dieses Intervalles zwischen x^ und x^ + A 

 nur eine einzige, und zwar fortwährend dieselbe Wurzel ^ (a) liegen. Für den Werth a' selbst 

 und das angrenzende Intervall tritt eine Änderung in der Zeichenanordnung auf und es sind 

 mehrere verschiedene Fälle denkbar. Meistentheils wird nur eine einzige der Functionen ^, £} 

 und nur ausnahmsweise eine Gruppe von mehreren gleichzeitig ihr Vorzeichen wechseln. Wir 

 wollen die verschiedenen hier möglichen Fälle aufzählen und genauer untersuchen. 



1. Die Änderung des Vorzeichens erfolgt nur bei der Function ^^. oder der anderen D^. 

 In diesem Falle erhalten dann im nächsten Intervalle von a^ die beiden Functionen ^,. und Q,. 

 gleiche Zeichen und es besteht nun gar kein Unterschied mehr in der Anordnung der Vor- 

 zeichen zwischen der oberen und unteren Reihe in (84). Die Differenz in der Anzahl der 

 Zeichenwechsel ist somit gleich Null und folglich keine Wurzel x zwischen x^ und x,, -\- A 

 enthalten. Es folgt hieraus, dass a' der Grenzwerth sei des giltigen Intervalles von a, das dem 

 Ergänzungsgliedc A entspricht, und dass über diesen Werth a' hinaus das Intervall nicht 

 weiter ausgedehnt werden dürfe. 



* * 



2. Die Amlerung des Vorzeichens erfolgt abermals bei einer einzelnen Function, aber bei 

 einer Mittelfunction ^^^W oder £l^W. Hier müssen wieder zwei verschiedene Fälle unterschieden 

 werden, je nachdem die beiden Nachbarfunctionen zur Linken und Rechten: ^^\.^'+^^ und *!)?\/'~^ 



oder !Q^^'+^^ und Q./' ^^ gleiche oder entgegengesetzte Vorzeichen besitzen für a = 

 Besitzen die beiden Nachbarfunctionen gleiche Zeichen, so bedingen bei der Änderung des 

 Vorzeichens der Mittclfunction diese drei Functionen jedenfalls eine Änderung in der Anzahl 

 der Zeichenwechsel in der entsprechenden Reihe der ^ oder O in (84), denn je nachdem vor 



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