Auf Losung smetlio de filr algehraische Buchstabengleicliungen etc. 



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der erfolo-ten Zeichen'ändcrunff bei der Mittelfunction diese drei Glieder der Eeilie zwei Zeiclien- 



wechsel oder zwei Zeiclienfolgen darbieten, werden nach der erfolgten Zciclicnänderung an 



ihrer Stelle zwei Zeichenfolgen oder zwei Zcichemvechsel auftreten, kurz 



es erfolgt in der 



betreffenden Eeihe der (84) eine Zu- oder Abnahme in der Zeichcnwechsclanzahl um zwei ; und 

 da die Zeichenanordnung in der anderen Eeihe (84) ungcandert geblieben, so wird die Diffe- 

 renz in der Anzahl der Zeichenwechsel beim Übertreten vom Intervalle -f a oo . . . - + ö^' in 

 das nächstliegende + a' in 3 übergehen. Der andere Übergang von 1 in —1 ist bckannter- 



massen unmöglich, da dem grösseren der beiden Werthe ;r, , x, + A stets die geringere Anzahl 



von Zeichenwechseln entspricht. 



Mit dem Auftreten des Index 3 anstatt 1 ist nun wohl keineswegs erwiesen, dass 

 wirklich drei reelle Wurzeln x zwischen x^ und x, + A fallen; es lässt sich im Gegen- 



dass das angedeutete neue Paar von Wurzeln in 



a fehlt, d. h. imaginär 



thcilc selir leicht der Beweis führen 



diesem Zwischenräume für die unmittelbar nächsten Werthe von 



ist; allein man ist dennoch genöthigt, das giltige Intervall vo n a mit dem Wer th c 



a' zu schliessen, weil jede Erweiterung desselben den Beweis der imaginären Beschaffenheit 



dieser zwei Wurzeln nothwendig voraussetzen würde. Ein solcher Beweis lässt sich aber, wie 



Fourier dargethan hat, nur mit Hilfe des engeren Zusammenziehens der Grenzen bewerk- 



stellio-en, reducirt sich also im Grunde immer auf das weitere Fortsetzen der Entwickelung 



von X über x,. hinaus, was liier nicht in unserer Absicht liegt. 



3. Erfolfft hino-cffen die Zeichcnänderung bei einer Mittelfunction, deren beide Nachbar- 



o^to 



functionen ungleiche Zeichen haben, so zwar, dass diese drei unmittelbar aufeinanderfolgenden 

 Functionen immer einen Zeichenwechsel und eine Zeichenfolge darstellen, glcichgiltig, ob die 

 Mittelfunction das eine oder das entgegengesetzte Zeichen trägt; so hat diese Zeichenänderung 

 gar keinen Einfluss auf die Anzahl der Zcichenwechsel in der botreffenden Eeihe der (84) 

 und somit bleibt auch die Differenz in den Anzahlen der Zcichenwechsel, so wie früher, , gleich 

 Eins. Man kann daher in diesem Falle das giltige Intervall von a über diesen speciellen 

 Werth d hinaus ausdehnen, bis eine Begrenzung desselben durch die Zeichenänderung bei 

 einer andern Function erfolgt, welche auf die Differenz der Zeichenwechseleinen Einfluss hat. 



4. Nun wären noch jene Ausnahmsfälle zu besprechen, in welchen mehrere Functionen 

 % Q gleichzeitig ilir Vorzeichen ändern. Allein die Bcurtheilung dieser seltenen Fälle ergibt 

 sich vOTi selbst aus dem früheren, indem der Gesammteffcct sich aus den Einzel Wirkungen 

 zusammensetzt. Es ist daher überflüssig, eine weitläufige Erörterung all' der verschiedenen 

 Fälle, die hier möglich sind, hier folgen zu lassen. 



Fassen wir all' das bisher Gesagte zusammen, so ergibt sich, dass die mit $ undO bezeich- 

 neten Functionen in (84) bezüglich ihres Einflusses auf die bestehende Difl^erenz in der Anzahl 

 der Zeichenwechsel bei der oberen mit i^ und der unteren mit Q bezeichneten Reihe in zwei 



Abtheilungen zu trennen sind: erstens in solche, die beim Ändern ihres Vorzeichens gar 

 keine Änderung in den Anzahlen der Zeichenwechsel bedingen, und diese sind jene Mittelfunc- 

 tionen, deren beide Nachbarfunctionen entgegengesetzte Vorzeichen besitzen, und zweitens 

 in andere, welche beim Ändern ihres Vorzeichens auch in der Anzald der Zeichenwechsel 

 eine Änderung bedingen; dahin sind die beiden Endfunctionen gi. und Q,, ferner alle jene 

 Mittelfunctionen zu zählen, deren Nachbarfunctioncn gleiche Vorzeichen besitzen. 



Es ergibt sich hieraus folgendes einfache Verfahren, um das giltige Intervall von a zu 

 finden: Man substituire die beiden Grenzwerthe x, und x^ + l anstatt x in die Eeihe von 



Denkschriften der mathcm.-naturw. Gl. XTTI. Bd. Abhandl. v. Nichtmitgl. 



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